2つの二次関数 $y=x^2-2ax+a^2-1$ と $y=-\frac{1}{2}x^2+4x+b$ のグラフの頂点が一致するように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

2つの二次関数 $y=x^2-2ax+a^2-1$ と $y=-\frac{1}{2}x^2+4x+b$ のグラフの頂点が一致するように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの二次関数を平方完成させ、頂点の座標を求めます。

1つ目の関数 $y=x^2-2ax+a^2-1$ を平方完成させます。

$y = (x-a)^2 - 1$

したがって、1つ目の関数の頂点の座標は $(a, -1)$ です。

次に、2つ目の関数 $y=-\frac{1}{2}x^2+4x+b$ を平方完成させます。

$y = -\frac{1}{2}(x^2-8x) + b$

$y = -\frac{1}{2}(x^2-8x+16-16) + b$

$y = -\frac{1}{2}(x-4)^2 + 8 + b$

したがって、2つ目の関数の頂点の座標は $(4, 8+b)$ です。

頂点の座標が一致するため、$a = 4$ かつ $-1 = 8+b$ が成り立ちます。

$-1 = 8 + b$ を解くと、

$b = -1 - 8 = -9$

よって、$a=4$、$b=-9$となります。

3. 最終的な答え

$a = 4$

$b = -9$