与えられた連立一次方程式を解く問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $x+y+z+w = 1$ $2x+3y+4z+5w = 1$ $4x+9y+16z+25w = 1$ $8x+27y+64z+125w = 1$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解く問題です。連立一次方程式は以下の通りです。

$x+y+z+w = 1$

$2x+3y+4z+5w = 1$

$4x+9y+16z+25w = 1$

$8x+27y+64z+125w = 1$

2. 解き方の手順

この連立一次方程式を解くために、まず、係数行列を考えます。

そして、ガウスの消去法または他の方法を用いて解を求めます。

ここでは差分を利用した解法を用います。

第2式から第1式を引きます：

$(2x+3y+4z+5w) - (x+y+z+w) = 1 - 1$

$x+2y+3z+4w = 0$ ...(5)

第3式から第2式を引きます：

$(4x+9y+16z+25w) - (2x+3y+4z+5w) = 1 - 1$

$2x+6y+12z+20w = 0$ ...(6)

第4式から第3式を引きます：

$(8x+27y+64z+125w) - (4x+9y+16z+25w) = 1 - 1$

$4x+18y+48z+100w = 0$ ...(7)

次に、式(6)から式(5)の2倍を引きます：

$(2x+6y+12z+20w) - 2(x+2y+3z+4w) = 0 - 2(0)$

$2x+6y+12z+20w - 2x-4y-6z-8w = 0$

$2y+6z+12w = 0$

$y+3z+6w = 0$ ...(8)

式(7)から式(6)の2倍を引きます：

$(4x+18y+48z+100w) - 2(2x+6y+12z+20w) = 0 - 2(0)$

$4x+18y+48z+100w - 4x-12y-24z-40w = 0$

$6y+24z+60w = 0$

$y+4z+10w = 0$ ...(9)

次に、式(9)から式(8)を引きます：

$(y+4z+10w) - (y+3z+6w) = 0 - 0$

$z+4w = 0$

$z = -4w$ ...(10)

式(8)に式(10)を代入します：

$y + 3(-4w) + 6w = 0$

$y - 12w + 6w = 0$

$y - 6w = 0$

$y = 6w$ ...(11)

式(5)に式(10)と式(11)を代入します：

$x + 2(6w) + 3(-4w) + 4w = 0$

$x + 12w - 12w + 4w = 0$

$x + 4w = 0$

$x = -4w$ ...(12)

式(1)に式(10), 式(11), 式(12)を代入します：

$(-4w) + (6w) + (-4w) + w = 1$

$-4w + 6w - 4w + w = 1$

$-w = 1$

$w = -1$

したがって：

$x = -4w = -4(-1) = 4$

$y = 6w = 6(-1) = -6$

$z = -4w = -4(-1) = 4$

$w = -1$

3. 最終的な答え

$x = 4, y = -6, z = 4, w = -1$