以下の連立方程式を解いて、$x, y, z$ の値を求めなさい。 $x + 2y - z = 3$ $2x + 6y - 5z = -1$ $-3x - y + 5z = 0$

はい、承知いたしました。問題の内容、解き方の手順、最終的な答えを以下に示します。

1. 問題の内容

以下の連立方程式を解いて、$x, y, z$ の値を求めなさい。

$x + 2y - z = 3$

$2x + 6y - 5z = -1$

$-3x - y + 5z = 0$

2. 解き方の手順

この連立方程式を解くために、いくつかの方法があります。ここでは、ガウスの消去法を用いて解きます。

まず、連立方程式を行列で表現します。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -1 \\

2 & 6 & -5 \\

-3 & -1 & 5

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x \\ y \\ z

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

3 \\ -1 \\ 0

\end{bmatrix}$

次に、拡大行列を作成します。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -1 & 3 \\

2 & 6 & -5 & -1 \\

-3 & -1 & 5 & 0

\end{bmatrix}$

行基本変形を行います。

2行目を、2行目 - 2 * 1行目 に置き換えます。

3行目を、3行目 + 3 * 1行目 に置き換えます。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -1 & 3 \\

0 & 2 & -3 & -7 \\

0 & 5 & 2 & 9

\end{bmatrix}$

2行目を1/2倍します。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -1 & 3 \\

0 & 1 & -3/2 & -7/2 \\

0 & 5 & 2 & 9

\end{bmatrix}$

3行目を、3行目 - 5 * 2行目 に置き換えます。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -1 & 3 \\

0 & 1 & -3/2 & -7/2 \\

0 & 0 & 19/2 & 49/2

\end{bmatrix}$

3行目を2/19倍します。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -1 & 3 \\

0 & 1 & -3/2 & -7/2 \\

0 & 0 & 1 & 49/19

\end{bmatrix}$

これで、階段行列になりました。 後退代入を行います。

$z = \frac{49}{19}$

$y - \frac{3}{2}z = -\frac{7}{2}$

$y = \frac{3}{2}z - \frac{7}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{49}{19} - \frac{7}{2} = \frac{147}{38} - \frac{133}{38} = \frac{14}{38} = \frac{7}{19}$

$x + 2y - z = 3$

$x = -2y + z + 3 = -2 \cdot \frac{7}{19} + \frac{49}{19} + 3 = -\frac{14}{19} + \frac{49}{19} + \frac{57}{19} = \frac{92}{19}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{92}{19}, y = \frac{7}{19}, z = \frac{49}{19}$