(1) $\sqrt[3]{1215} \times \sqrt[4]{1125} \div \sqrt[12]{45}$ を計算してください。 (2) $\sqrt{6} \times \sqrt[3]{12} \times \sqrt[6]{\frac{2}{3}}$ を計算してください。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt[3]{1215} \times \sqrt[4]{1125} \div \sqrt[12]{45}$ を計算してください。

(2) $\sqrt{6} \times \sqrt[3]{12} \times \sqrt[6]{\frac{2}{3}}$ を計算してください。

2. 解き方の手順

(1)

まず、それぞれの根号の中の数を素因数分解します。

$1215 = 3^5 \times 5$

$1125 = 3^2 \times 5^3$

$45 = 3^2 \times 5$

それぞれの根号を指数で表します。

$\sqrt[3]{1215} = (3^5 \times 5)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{5}{3}} \times 5^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[4]{1125} = (3^2 \times 5^3)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{2}{4}} \times 5^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{1}{2}} \times 5^{\frac{3}{4}}$

$\sqrt[12]{45} = (3^2 \times 5)^{\frac{1}{12}} = 3^{\frac{2}{12}} \times 5^{\frac{1}{12}} = 3^{\frac{1}{6}} \times 5^{\frac{1}{12}}$

与式は、

$3^{\frac{5}{3}} \times 5^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}} \times 5^{\frac{3}{4}} \div (3^{\frac{1}{6}} \times 5^{\frac{1}{12}}) = 3^{\frac{5}{3}} \times 5^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}} \times 5^{\frac{3}{4}} \times 3^{-\frac{1}{6}} \times 5^{-\frac{1}{12}}$

$3$ の指数をまとめると、$\frac{5}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{10}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$5$ の指数をまとめると、$\frac{1}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} + \frac{9}{12} - \frac{1}{12} = \frac{12}{12} = 1$

したがって、与式は $3^2 \times 5^1 = 9 \times 5 = 45$

(2)

まず、それぞれの根号の中の数を素因数分解します。

$6 = 2 \times 3$

$12 = 2^2 \times 3$

$\frac{2}{3} = 2 \times 3^{-1}$

それぞれの根号を指数で表します。

$\sqrt{6} = (2 \times 3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{12} = (2^2 \times 3)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[6]{\frac{2}{3}} = (2 \times 3^{-1})^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{6}} \times 3^{-\frac{1}{6}}$

与式は、

$2^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{6}} \times 3^{-\frac{1}{6}}$

$2$ の指数をまとめると、$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$3$ の指数をまとめると、$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

したがって、与式は $2^{\frac{4}{3}} \times 3^{\frac{2}{3}} = (2^4)^{\frac{1}{3}} \times (3^2)^{\frac{1}{3}} = 16^{\frac{1}{3}} \times 9^{\frac{1}{3}} = (16 \times 9)^{\frac{1}{3}} = (144)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{144}$

$144 = 2^4 \times 3^2 = 2^3 \times 2 \times 3^2 = 8 \times 18$

したがって、$\sqrt[3]{144} = \sqrt[3]{2^3 \times 18} = 2\sqrt[3]{18}$

3. 最終的な答え

(1) 45

(2) $2\sqrt[3]{18}$