円Oにおいて、$\angle{A} = 50^\circ$、$\angle{D} = 60^\circ$であるとき、$\angle{x}$と$\angle{y}$の大きさを求めよ。

## 問題5 (2)

1. 問題の内容

円Oにおいて、$\angle{A} = 50^\circ$、$\angle{D} = 60^\circ$であるとき、$\angle{x}$と$\angle{y}$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

* 円周角の定理より、$\angle{x}$は弧ADに対する円周角であるため、中心角の半分である。同様に、$\angle{y}$は弧ACに対する円周角であるため、中心角の半分である。

* $\triangle{OAC}$において、$OA=OC$（円の半径）より、$\triangle{OAC}$は二等辺三角形なので、$\angle{OAC} = \angle{OCA} = 50^\circ$。

よって、$\angle{AOC} = 180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ$。

* 同様に、$\triangle{OBD}$において、$OB=OD$（円の半径）より、$\triangle{OBD}$は二等辺三角形なので、$\angle{OBD} = \angle{ODB} = 60^\circ$。

よって、$\angle{BOD} = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$。

* 円周角の定理より、

$\angle{x} = \frac{1}{2}\angle{AOC} = \frac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ$。

$\angle{y} = \frac{1}{2}\angle{BOD} = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ$。

3. 最終的な答え

$\angle{x} = 40^\circ$

$\angle{y} = 30^\circ$