定積分 $\int_1^2 \sqrt{4-x^2} dx$ を計算し、その結果を定数を用いて$\frac{\pi}{[ウ]} - \frac{\sqrt{3}}{[エ]}$ の形で表す問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_1^2 \sqrt{4-x^2} dx$ を計算し、その結果を定数を用いて$\frac{\pi}{[ウ]} - \frac{\sqrt{3}}{[エ]}$ の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = 2\sin\theta$ と置換します。このとき、$dx = 2\cos\theta d\theta$ となります。

積分区間は、$x=1$ のとき $1=2\sin\theta$ より $\sin\theta = \frac{1}{2}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{6}$です。

$x=2$ のとき $2=2\sin\theta$ より $\sin\theta = 1$ なので、$\theta = \frac{\pi}{2}$です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4-4\sin^2\theta} \cdot 2\cos\theta d\theta = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta d\theta = 4 \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta$

ここで、$\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$ を用いると、

$4 \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos2\theta}{2} d\theta = 2 \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos2\theta) d\theta = 2 \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin2\theta \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= 2 \left[ \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin\pi\right) - \left(\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{3}\right) \right] = 2 \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right] = 2 \left[ \frac{3\pi - \pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right] = 2 \left[ \frac{2\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right] = 2 \left[ \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right]$

$= \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$

したがって、求める定積分の値は $\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

元の式と対応させると、$\int_1^2 \sqrt{4-x^2}dx = 2 (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4})$ となります。

3. 最終的な答え

[ア] = 2

[ウ] = 3

[エ] = 4