実数 $\alpha$ が $\alpha = \sqrt[3]{2+\frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2-\frac{10\sqrt{3}}{9}}$ で定義されているとき、以下の問いに答えます。 (1) $\alpha$ を解にもつ整数係数の3次方程式を1つ求めます。 (2) $\alpha$ が整数であることを示し、その整数を求めます。

1. 問題の内容

実数 $\alpha$ が $\alpha = \sqrt[3]{2+\frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2-\frac{10\sqrt{3}}{9}}$ で定義されているとき、以下の問いに答えます。

(1) $\alpha$ を解にもつ整数係数の3次方程式を1つ求めます。

(2) $\alpha$ が整数であることを示し、その整数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha = \sqrt[3]{2+\frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2-\frac{10\sqrt{3}}{9}}$ を3乗します。

$\alpha^3 = \left(\sqrt[3]{2+\frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2-\frac{10\sqrt{3}}{9}}\right)^3$

$\alpha^3 = \left(2+\frac{10\sqrt{3}}{9}\right) + 3\left(\sqrt[3]{2+\frac{10\sqrt{3}}{9}}\right)^2\left(\sqrt[3]{2-\frac{10\sqrt{3}}{9}}\right) + 3\left(\sqrt[3]{2+\frac{10\sqrt{3}}{9}}\right)\left(\sqrt[3]{2-\frac{10\sqrt{3}}{9}}\right)^2 + \left(2-\frac{10\sqrt{3}}{9}\right)$

$\alpha^3 = 4 + 3\sqrt[3]{2+\frac{10\sqrt{3}}{9}}\sqrt[3]{2-\frac{10\sqrt{3}}{9}} \left(\sqrt[3]{2+\frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2-\frac{10\sqrt{3}}{9}}\right)$

$\alpha^3 = 4 + 3\sqrt[3]{4-\frac{100 \cdot 3}{81}}\alpha$

$\alpha^3 = 4 + 3\sqrt[3]{4-\frac{100}{27}}\alpha$

$\alpha^3 = 4 + 3\sqrt[3]{\frac{108-100}{27}}\alpha$

$\alpha^3 = 4 + 3\sqrt[3]{\frac{8}{27}}\alpha$

$\alpha^3 = 4 + 3\cdot \frac{2}{3}\alpha$

$\alpha^3 = 4 + 2\alpha$

$\alpha^3 - 2\alpha - 4 = 0$

よって、$\alpha$ を解にもつ3次方程式は $x^3 - 2x - 4 = 0$ です。

(2) (1) で求めた3次方程式 $x^3 - 2x - 4 = 0$ を解きます。

$f(x) = x^3 - 2x - 4$ とおくと、$f(2) = 8 - 4 - 4 = 0$ となるため、$x-2$ を因数に持ちます。

$x^3 - 2x - 4 = (x-2)(x^2+2x+2) = 0$

したがって、$x = 2$ または $x^2 + 2x + 2 = 0$。

$x^2+2x+2 = (x+1)^2+1 = 0$ より、$x = -1 \pm i$。

$\alpha$ は実数なので、$\alpha = 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x^3 - 2x - 4 = 0$

(2) $\alpha = 2$