$n \in \mathbb{N}$ に対して、積分 $I_n = \int_1^n \frac{1}{(x+e^{\cos x})^{2/3}} dx$ が定義されています。このとき、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{I_n}{\sqrt[3]{n}}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$n \in \mathbb{N}$ に対して、積分

$I_n = \int_1^n \frac{1}{(x+e^{\cos x})^{2/3}} dx$

が定義されています。このとき、極限

$\lim_{n \to \infty} \frac{I_n}{\sqrt[3]{n}}$

を求める問題です。

2. 解き方の手順

$I_n = \int_1^n \frac{1}{(x+e^{\cos x})^{2/3}} dx$

まず、$e^{\cos x}$ を評価します。$-1 \le \cos x \le 1$ より、$e^{-1} \le e^{\cos x} \le e$ となります。したがって、$x+e^{-1} \le x+e^{\cos x} \le x+e$ が成立します。

これにより、

$\frac{1}{(x+e)^{2/3}} \le \frac{1}{(x+e^{\cos x})^{2/3}} \le \frac{1}{(x+e^{-1})^{2/3}}$

が成り立ちます。

$I_n = \int_1^n \frac{1}{(x+e^{\cos x})^{2/3}} dx$ を評価するために、これらの不等式を積分します。

$\int_1^n \frac{1}{(x+e)^{2/3}} dx \le I_n \le \int_1^n \frac{1}{(x+e^{-1})^{2/3}} dx$

ここで、積分 $\int \frac{1}{(x+a)^{2/3}} dx$ を計算します。

$u = x+a$ と置くと、$du = dx$ なので、

$\int \frac{1}{(x+a)^{2/3}} dx = \int \frac{1}{u^{2/3}} du = \int u^{-2/3} du = 3u^{1/3} + C = 3(x+a)^{1/3} + C$

したがって、

$\int_1^n \frac{1}{(x+e)^{2/3}} dx = [3(x+e)^{1/3}]_1^n = 3(n+e)^{1/3} - 3(1+e)^{1/3}$

$\int_1^n \frac{1}{(x+e^{-1})^{2/3}} dx = [3(x+e^{-1})^{1/3}]_1^n = 3(n+e^{-1})^{1/3} - 3(1+e^{-1})^{1/3}$

よって、

$3(n+e)^{1/3} - 3(1+e)^{1/3} \le I_n \le 3(n+e^{-1})^{1/3} - 3(1+e^{-1})^{1/3}$

ここで、$n \to \infty$ を考え、$I_n$ を $\sqrt[3]{n}$ で割ります。

$\frac{3(n+e)^{1/3} - 3(1+e)^{1/3}}{\sqrt[3]{n}} \le \frac{I_n}{\sqrt[3]{n}} \le \frac{3(n+e^{-1})^{1/3} - 3(1+e^{-1})^{1/3}}{\sqrt[3]{n}}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{3(n+e)^{1/3} - 3(1+e)^{1/3}}{\sqrt[3]{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3(n(1+e/n))^{1/3} - 3(1+e)^{1/3}}{\sqrt[3]{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3\sqrt[3]{n}(1+e/n)^{1/3} - 3(1+e)^{1/3}}{\sqrt[3]{n}} = \lim_{n \to \infty} 3(1+e/n)^{1/3} - \frac{3(1+e)^{1/3}}{\sqrt[3]{n}} = 3$

$\lim_{n \to \infty} \frac{3(n+e^{-1})^{1/3} - 3(1+e^{-1})^{1/3}}{\sqrt[3]{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3(n(1+e^{-1}/n))^{1/3} - 3(1+e^{-1})^{1/3}}{\sqrt[3]{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3\sqrt[3]{n}(1+e^{-1}/n)^{1/3} - 3(1+e^{-1})^{1/3}}{\sqrt[3]{n}} = \lim_{n \to \infty} 3(1+e^{-1}/n)^{1/3} - \frac{3(1+e^{-1})^{1/3}}{\sqrt[3]{n}} = 3$

したがって、はさみうちの原理より、

$\lim_{n \to \infty} \frac{I_n}{\sqrt[3]{n}} = 3$

3. 最終的な答え

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