与えられた式 $\alpha = \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}} = 2$ が正しいかどうかを判定します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\alpha = \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}} = 2$ が正しいかどうかを判定します。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha = \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}$ の両辺を3乗します。

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ の公式を利用します。

$a = \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}}$

$b = \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}$

とすると、

$\alpha^3 = \left(\sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}}\right)^3 + 3\left(\sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}}\right)^2\left(\sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}\right) + 3\left(\sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}}\right)\left(\sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}\right)^2 + \left(\sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}\right)^3$

$\alpha^3 = 2 + \frac{10\sqrt{3}}{9} + 3\sqrt[3]{\left(2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}\right)^2\left(2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}\right)} + 3\sqrt[3]{\left(2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}\right)\left(2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}\right)^2} + 2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}$

$\alpha^3 = 4 + 3\sqrt[3]{\left(2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}\right)\left(2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}\right)}\left(\sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}\right)$

ここで、$A = 2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}$、 $B = 2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}$ とおくと、$AB = 2^2 - \left(\frac{10\sqrt{3}}{9}\right)^2 = 4 - \frac{100 \cdot 3}{81} = 4 - \frac{300}{81} = \frac{324 - 300}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

$\alpha^3 = 4 + 3\sqrt[3]{\frac{8}{27}} \alpha = 4 + 3\left(\frac{2}{3}\right) \alpha = 4 + 2\alpha$

$\alpha^3 = 4 + 2\alpha$

$\alpha^3 - 2\alpha - 4 = 0$

$(\alpha - 2)(\alpha^2 + 2\alpha + 2) = 0$

$\alpha = 2$ または $\alpha^2 + 2\alpha + 2 = 0$。

$\alpha^2 + 2\alpha + 2 = (\alpha + 1)^2 + 1 = 0$ は実数解を持たない。

したがって、$\alpha = 2$ となります。

3. 最終的な答え

与えられた式 $\alpha = \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}} = 2$ は正しいです。