次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1 - e^{2x-2}}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1 - e^{2x-2}}$

2. 解き方の手順

まず、$x-1 = t$ とおくと、$x = t+1$ であり、$x \to 1$ のとき $t \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1 - e^{2x-2}} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{1 - e^{2(t+1)-2}} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{1 - e^{2t}}$

ここで、ロピタルの定理を用いることを考えます。

$\lim_{t \to 0} \frac{t}{1 - e^{2t}}$ において、$t \to 0$ のとき、$t \to 0$ かつ $1-e^{2t} \to 1-1 = 0$ となり、$\frac{0}{0}$ の不定形となります。

したがって、ロピタルの定理を用いることができます。

$\lim_{t \to 0} \frac{t}{1 - e^{2t}} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{dt}(t)}{\frac{d}{dt}(1 - e^{2t})} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{-2e^{2t}}$

$t \to 0$ のとき、$e^{2t} \to e^0 = 1$ なので、

$\lim_{t \to 0} \frac{1}{-2e^{2t}} = \frac{1}{-2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$