次の関数を微分せよ。 (1) $y = \ln(2x)$ (6) $y = x^2 \ln(x)$ (15) $x(r) = \ln \left| \frac{1-r}{1+r} \right|$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = \ln(2x)$

(6) $y = x^2 \ln(x)$

(15) $x(r) = \ln \left| \frac{1-r}{1+r} \right|$

2. 解き方の手順

(1) $y = \ln(2x)$ の微分

$\ln(2x) = \ln(2) + \ln(x)$ なので、微分すると

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\ln(2) + \ln(x)) = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

または、合成関数の微分を使うと

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$

(6) $y = x^2 \ln(x)$ の微分

積の微分法を使う。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^2 \ln(x)) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot \ln(x) + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x)) = 2x \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln(x) + x = x(2\ln(x)+1)$

(15) $x(r) = \ln \left| \frac{1-r}{1+r} \right|$ の微分

$\frac{dx}{dr} = \frac{d}{dr} \left( \ln \left| \frac{1-r}{1+r} \right| \right)$

$\frac{dx}{dr} = \frac{d}{dr} \left( \ln |1-r| - \ln |1+r| \right) = \frac{-1}{1-r} - \frac{1}{1+r} = \frac{-(1+r) - (1-r)}{(1-r)(1+r)} = \frac{-1-r-1+r}{1-r^2} = \frac{-2}{1-r^2} = \frac{2}{r^2-1}$

または、合成関数の微分を使うと

$\frac{dx}{dr} = \frac{1}{\frac{1-r}{1+r}} \cdot \frac{d}{dr} \left( \frac{1-r}{1+r} \right) = \frac{1+r}{1-r} \cdot \frac{(-1)(1+r)-(1-r)(1)}{(1+r)^2} = \frac{1+r}{1-r} \cdot \frac{-1-r-1+r}{(1+r)^2} = \frac{1+r}{1-r} \cdot \frac{-2}{(1+r)^2} = \frac{-2}{(1-r)(1+r)} = \frac{-2}{1-r^2} = \frac{2}{r^2-1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

(6) $\frac{dy}{dx} = x(2\ln(x)+1)$

(15) $\frac{dx}{dr} = \frac{2}{r^2-1}$