画像には、いくつかの関数の微分を求める問題が含まれています。具体的には、三角関数や合成関数の微分を求める問題があります。問題番号と関数は以下の通りです。 (2) $y = 4\sin(2x+3)$ (3) $y = 3\cos(3x+\frac{\pi}{4})$ (4) $s(v) = \tan(3v)$ (5) $y = \sin^5(x)$ (8) $y = 3x\cos(x+\frac{\pi}{6})$ (15) $z(\theta) = \sin(\theta)\tan(\theta)$

解析学微分三角関数合成関数積の微分
2025/6/19
はい、承知いたしました。画像に写っている問題について、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

画像には、いくつかの関数の微分を求める問題が含まれています。具体的には、三角関数や合成関数の微分を求める問題があります。問題番号と関数は以下の通りです。
(2) y=4sin(2x+3)y = 4\sin(2x+3)
(3) y=3cos(3x+π4)y = 3\cos(3x+\frac{\pi}{4})
(4) s(v)=tan(3v)s(v) = \tan(3v)
(5) y=sin5(x)y = \sin^5(x)
(8) y=3xcos(x+π6)y = 3x\cos(x+\frac{\pi}{6})
(15) z(θ)=sin(θ)tan(θ)z(\theta) = \sin(\theta)\tan(\theta)

2. 解き方の手順

(2) y=4sin(2x+3)y = 4\sin(2x+3)
* 合成関数の微分を利用します。sin(u)\sin(u)の微分はcos(u)\cos(u)であり、u=2x+3u = 2x+3の微分は22です。
* したがって、y=4cos(2x+3)2=8cos(2x+3)y' = 4 \cdot \cos(2x+3) \cdot 2 = 8\cos(2x+3)
(3) y=3cos(3x+π4)y = 3\cos(3x+\frac{\pi}{4})
* 合成関数の微分を利用します。cos(u)\cos(u)の微分はsin(u)-\sin(u)であり、u=3x+π4u = 3x+\frac{\pi}{4}の微分は33です。
* したがって、y=3(sin(3x+π4))3=9sin(3x+π4)y' = 3 \cdot (-\sin(3x+\frac{\pi}{4})) \cdot 3 = -9\sin(3x+\frac{\pi}{4})
(4) s(v)=tan(3v)s(v) = \tan(3v)
* 合成関数の微分を利用します。tan(u)\tan(u)の微分は1cos2(u)\frac{1}{\cos^2(u)}であり、u=3vu = 3vの微分は33です。
* したがって、s(v)=1cos2(3v)3=3cos2(3v)=3sec2(3v)s'(v) = \frac{1}{\cos^2(3v)} \cdot 3 = \frac{3}{\cos^2(3v)} = 3\sec^2(3v)
(5) y=sin5(x)y = \sin^5(x)
* 合成関数の微分を利用します。u5u^5の微分は5u45u^4であり、u=sin(x)u = \sin(x)の微分はcos(x)\cos(x)です。
* したがって、y=5sin4(x)cos(x)=5sin4(x)cos(x)y' = 5 \cdot \sin^4(x) \cdot \cos(x) = 5\sin^4(x)\cos(x)
(8) y=3xcos(x+π6)y = 3x\cos(x+\frac{\pi}{6})
* 積の微分公式と合成関数の微分を利用します。積の微分公式は(uv)=uv+uv(uv)' = u'v + uv'です。
* u=3xu = 3xv=cos(x+π6)v = \cos(x+\frac{\pi}{6})とすると、u=3u' = 3v=sin(x+π6)v' = -\sin(x+\frac{\pi}{6})です。
* したがって、y=3cos(x+π6)+3x(sin(x+π6))=3cos(x+π6)3xsin(x+π6)y' = 3\cos(x+\frac{\pi}{6}) + 3x(-\sin(x+\frac{\pi}{6})) = 3\cos(x+\frac{\pi}{6}) - 3x\sin(x+\frac{\pi}{6})
(15) z(θ)=sin(θ)tan(θ)z(\theta) = \sin(\theta)\tan(\theta)
* 積の微分公式を利用します。積の微分公式は(uv)=uv+uv(uv)' = u'v + uv'です。
* u=sin(θ)u = \sin(\theta)v=tan(θ)v = \tan(\theta)とすると、u=cos(θ)u' = \cos(\theta)v=1cos2(θ)v' = \frac{1}{\cos^2(\theta)}です。
* したがって、z(θ)=cos(θ)tan(θ)+sin(θ)1cos2(θ)=cos(θ)sin(θ)cos(θ)+sin(θ)cos2(θ)=sin(θ)+sin(θ)cos2(θ)=sin(θ)(1+1cos2(θ))=sin(θ)+sin(θ)cos2(θ)z'(\theta) = \cos(\theta)\tan(\theta) + \sin(\theta)\frac{1}{\cos^2(\theta)} = \cos(\theta)\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} + \frac{\sin(\theta)}{\cos^2(\theta)} = \sin(\theta) + \frac{\sin(\theta)}{\cos^2(\theta)} = \sin(\theta)(1 + \frac{1}{\cos^2(\theta)}) = \sin(\theta) + \frac{\sin(\theta)}{\cos^2(\theta)}

3. 最終的な答え

(2) y=8cos(2x+3)y' = 8\cos(2x+3)
(3) y=9sin(3x+π4)y' = -9\sin(3x+\frac{\pi}{4})
(4) s(v)=3sec2(3v)s'(v) = 3\sec^2(3v)
(5) y=5sin4(x)cos(x)y' = 5\sin^4(x)\cos(x)
(8) y=3cos(x+π6)3xsin(x+π6)y' = 3\cos(x+\frac{\pi}{6}) - 3x\sin(x+\frac{\pi}{6})
(15) z(θ)=sin(θ)+sin(θ)cos2(θ)z'(\theta) = \sin(\theta) + \frac{\sin(\theta)}{\cos^2(\theta)}

「解析学」の関連問題

問題1:曲線 $y = \log x$、直線 $y = -1$、$y = 2e$、および $y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。 問題2:底面の半径 $a$、高さ $b$ の直円柱を軸を含...

積分面積体積対数関数直円柱
2025/6/26

与えられた定積分の値を求めます。問題は、次の式で表されます。 $ -\int_{\frac{3}{2}}^{0} (3x-1)(3x-2) \, dx + \int_{\frac{3}{2}}^{1}...

定積分積分多項式
2025/6/26

関数 $y = \sin{x}$ のグラフを $-2\pi \leq x \leq 2\pi$ の範囲で描き、表に示された7点の座標をグラフ上に明記する問題です。表に示された $x$ の値は、 $-2...

三角関数グラフsin関数周期
2025/6/26

常用対数表を用いて、以下の値を求めます。 (1) $\log_{10} 9.71$ (2) $\log_{10} 30800$ (3) $\log_{10} 0.0838$

対数常用対数対数計算
2025/6/26

常用対数表を用いて、以下の値を求めます。 (1) $\log_{10} 2.81$ (2) $\log_{10} 5130$ (3) $\log_{10} 0.918$

対数常用対数指数
2025/6/26

関数 $y = \sin x$ のグラフを $-2\pi \leq x \leq 2\pi$ の範囲で描く。表に示された7点($x$ 座標が $-2\pi, -\frac{7}{6}\pi, -\fr...

三角関数グラフsin関数
2025/6/26

問題は、与えられた3つの対数 $\log_{\frac{1}{4}} 5$, $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3}$, $\log_{\frac{1}{4}} 7$ の大小関...

対数対数関数大小比較
2025/6/26

与えられた2つの対数関数のグラフを描く問題です。 (1) $y = \log_2 x$ (2) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

対数関数グラフ関数のグラフ
2025/6/26

次の曲線と2直線、およびx軸で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求めよ。 (1) $y = \frac{x-1}{x-2}$, $x = -1$, $x = \frac{3}{2}$ (2) $...

積分面積定積分対数関数指数関数三角関数
2025/6/26

関数 $f(x)$ は閉区間 $I=[a, b]$ で連続、開区間 $(a, b)$ で微分可能である。以下の選択肢から正しいものをすべて選ぶ。

微分関数の連続性単調増加単調減少導関数
2025/6/26