関数 $y = mx^2 - x + m - 3$ において、$y$ の値が常に負となるように、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = mx^2 - x + m - 3$ において、$y$ の値が常に負となるように、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

$y = mx^2 - x + m - 3$ が常に負であるための条件を考えます。

まず、$m=0$ の場合を考えると、$y = -x - 3$ となり、$x$ の値によって $y$ の正負が変化するので、常に負であるという条件を満たしません。したがって、$m \neq 0$ です。

次に、$m \neq 0$ の場合を考えます。$y$ が常に負であるためには、放物線 $y = mx^2 - x + m - 3$ が常に $x$ 軸より下になければなりません。つまり、

- $m < 0$ （上に凸の放物線であること）

- 判別式 $D < 0$ （$x$ 軸との交点を持たないこと）

である必要があります。

判別式 $D$ は、

$D = (-1)^2 - 4m(m-3) = 1 - 4m^2 + 12m$

$D < 0$ より、

$1 - 4m^2 + 12m < 0$

$4m^2 - 12m - 1 > 0$

この不等式を解きます。$4m^2 - 12m - 1 = 0$ の解は、解の公式より、

$m = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 16}}{8} = \frac{12 \pm \sqrt{160}}{8} = \frac{12 \pm 4\sqrt{10}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{10}}{2}$

したがって、$4m^2 - 12m - 1 > 0$ の解は、

$m < \frac{3 - \sqrt{10}}{2}$ または $m > \frac{3 + \sqrt{10}}{2}$

$m < 0$ という条件と、$m < \frac{3 - \sqrt{10}}{2}$ または $m > \frac{3 + \sqrt{10}}{2}$ という条件を両方満たす必要があります。

ここで、$\sqrt{10} \approx 3.16$ より、$\frac{3 - \sqrt{10}}{2} \approx \frac{3 - 3.16}{2} = -0.08 < 0$ であり、$\frac{3 + \sqrt{10}}{2} \approx \frac{3 + 3.16}{2} = 3.08 > 0$ です。

したがって、$m < 0$ と $m < \frac{3 - \sqrt{10}}{2}$ を満たすのは $m < \frac{3 - \sqrt{10}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$m < \frac{3 - \sqrt{10}}{2}$