行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & -1 \end{bmatrix}$ の逆行列が存在するような $a$ の値を求め、そのときの逆行列を求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & -1 \end{bmatrix}$ の逆行列が存在するような $a$ の値を求め、そのときの逆行列を求める。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の逆行列が存在するための条件は、行列式 $\det(A)$ が 0 でないことです。$\det(A)$ を計算します。

$\det(A) = 1(a(-1) - 1) - (-1)(1(-1) - a) + (-a)(1 - a^2) \\ = 1(-a - 1) + (-1 - a) + (-a + a^3) \\ = -a - 1 - 1 - a - a + a^3 \\ = a^3 - 3a - 2$

次に、$\det(A) = 0$ となる $a$ の値を求めます。

$a^3 - 3a - 2 = 0$

$(a+1)(a^2 - a - 2) = 0$

$(a+1)(a+1)(a-2) = 0$

$(a+1)^2(a-2) = 0$

したがって、$a = -1, 2$ のとき、$\det(A) = 0$ となります。逆行列が存在するためには、$a \neq -1, 2$ である必要があります。

次に、$a \neq -1, 2$ のとき、逆行列を求めます。逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$ で与えられます。ここで、$\text{adj}(A)$ は $A$ の余因子行列の転置です。

$A$ の余因子行列は以下の通りです。

$C = \begin{bmatrix} -a-1 & -(-1-a) & 1-a^2 \\ -(1-a) & -1+a^2 & -(1+a) \\ -1-a & -(1+a) & a+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a-1 & 1+a & 1-a^2 \\ a-1 & a^2-1 & -1-a \\ -1-a & -1-a & a+1 \end{bmatrix}$

余因子行列の転置は以下の通りです。

$\text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix} -a-1 & a-1 & -1-a \\ 1+a & a^2-1 & -1-a \\ 1-a^2 & -1-a & a+1 \end{bmatrix}$

したがって、$A^{-1} = \frac{1}{a^3 - 3a - 2} \begin{bmatrix} -a-1 & a-1 & -1-a \\ 1+a & a^2-1 & -1-a \\ 1-a^2 & -1-a & a+1 \end{bmatrix} = \frac{1}{(a+1)^2(a-2)} \begin{bmatrix} -a-1 & a-1 & -1-a \\ 1+a & a^2-1 & -1-a \\ 1-a^2 & -1-a & a+1 \end{bmatrix}$

ただし、$a \neq -1, 2$ である。

3. 最終的な答え

$A$ の逆行列が存在するような $a$ の値は、$a \neq -1, 2$ です。このとき、$A$ の逆行列は以下のようになります。

$A^{-1} = \frac{1}{(a+1)^2(a-2)} \begin{bmatrix} -a-1 & a-1 & -1-a \\ 1+a & a^2-1 & -1-a \\ 1-a^2 & -1-a & a+1 \end{bmatrix}$