次の等式を満たす実数 $x$, $y$ の値を求める問題です。 (1) $(x-3y) + (2x+y)i = 1 - 12i$ (2) $(5+i)(x+yi) = 13 + 13i$

1. 問題の内容

次の等式を満たす実数 $x$, $y$ の値を求める問題です。

(1) $(x-3y) + (2x+y)i = 1 - 12i$

(2) $(5+i)(x+yi) = 13 + 13i$

2. 解き方の手順

(1) 複素数の相等より、実部と虚部がそれぞれ等しいので、以下の連立方程式が成り立ちます。

$x - 3y = 1$

$2x + y = -12$

上の式から $x = 1 + 3y$ なので、下の式に代入すると

$2(1 + 3y) + y = -12$

$2 + 6y + y = -12$

$7y = -14$

$y = -2$

$x = 1 + 3(-2) = 1 - 6 = -5$

(2) $(5+i)(x+yi) = 5x + 5yi + xi + yi^2 = 5x + 5yi + xi - y = (5x-y) + (x+5y)i = 13 + 13i$

複素数の相等より、実部と虚部がそれぞれ等しいので、以下の連立方程式が成り立ちます。

$5x - y = 13$

$x + 5y = 13$

上の式から $y = 5x - 13$ なので、下の式に代入すると

$x + 5(5x - 13) = 13$

$x + 25x - 65 = 13$

$26x = 78$

$x = 3$

$y = 5(3) - 13 = 15 - 13 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $x = -5$, $y = -2$

(2) $x = 3$, $y = 2$