## 問題の内容

## 問題の内容

次の8つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int x^2 \log x \, dx$

(2) $\int x^2 e^x \, dx$

(3) $\int x \sin^2 x \, dx$

(4) $\int \frac{x}{\cos^2 x} \, dx$

(5) $\int e^x \cos x \, dx$

(6) $\int (\log x)^2 \, dx$

(7) $\int \log(1+x^2) \, dx$

(8) $\int \sin^{-1} x \, dx$

## 解き方の手順

各積分について、個別に解き方を説明します。積分定数は省略します。

**(1) $\int x^2 \log x \, dx$**

部分積分法を用います。 $u = \log x$, $dv = x^2 dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^3}{3}$ となります。

$\int x^2 \log x \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3}$

**(2) $\int x^2 e^x \, dx$**

部分積分法を2回用います。 $u = x^2$, $dv = e^x dx$ とおくと、$du = 2x \, dx$, $v = e^x$ となります。

$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x \, dx$

次に、$\int x e^x \, dx$ を部分積分で計算します。 $u = x$, $dv = e^x dx$ とおくと、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

$\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x$

したがって、$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x$

**(3) $\int x \sin^2 x \, dx$**

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いて変形します。

$\int x \sin^2 x \, dx = \int x \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int x \, dx - \frac{1}{2} \int x \cos 2x \, dx$

$\int x \cos 2x \, dx$ を部分積分で計算します。 $u = x$, $dv = \cos 2x \, dx$ とおくと、$du = dx$, $v = \frac{1}{2} \sin 2x$ となります。

$\int x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} x \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x$

したがって、$\int x \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x) = \frac{x^2}{4} - \frac{1}{4} x \sin 2x - \frac{1}{8} \cos 2x$

**(4) $\int \frac{x}{\cos^2 x} \, dx$**

部分積分法を用います。 $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ であることを利用します。 $u = x$, $dv = \sec^2 x \, dx$ とおくと、$du = dx$, $v = \tan x$ となります。

$\int \frac{x}{\cos^2 x} \, dx = \int x \sec^2 x \, dx = x \tan x - \int \tan x \, dx = x \tan x - \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = x \tan x + \log |\cos x|$

**(5) $\int e^x \cos x \, dx$**

部分積分法を2回用います。 $u = \cos x$, $dv = e^x dx$ とおくと、$du = -\sin x \, dx$, $v = e^x$ となります。

$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$

次に、$\int e^x \sin x \, dx$ を部分積分で計算します。 $u = \sin x$, $dv = e^x dx$ とおくと、$du = \cos x \, dx$, $v = e^x$ となります。

$\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$

したがって、$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + (e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx)$

$2 \int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x$

$\int e^x \cos x \, dx = \frac{1}{2} (e^x \cos x + e^x \sin x)$

**(6) $\int (\log x)^2 \, dx$**

部分積分法を用います。 $u = (\log x)^2$, $dv = dx$ とおくと、$du = 2 \log x \cdot \frac{1}{x} \, dx$, $v = x$ となります。

$\int (\log x)^2 \, dx = x (\log x)^2 - \int x \cdot 2 \log x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x (\log x)^2 - 2 \int \log x \, dx$

次に、$\int \log x \, dx$ を部分積分で計算します。 $u = \log x$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = x$ となります。

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log x - \int dx = x \log x - x$

したがって、$\int (\log x)^2 \, dx = x (\log x)^2 - 2 (x \log x - x) = x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x$

**(7) $\int \log(1+x^2) \, dx$**

部分積分法を用います。 $u = \log(1+x^2)$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{2x}{1+x^2} \, dx$, $v = x$ となります。

$\int \log(1+x^2) \, dx = x \log(1+x^2) - \int x \cdot \frac{2x}{1+x^2} \, dx = x \log(1+x^2) - 2 \int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$

$\int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx = \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} \, dx = \int (1 - \frac{1}{1+x^2}) \, dx = x - \arctan x$

したがって、$\int \log(1+x^2) \, dx = x \log(1+x^2) - 2 (x - \arctan x) = x \log(1+x^2) - 2x + 2 \arctan x$

**(8) $\int \sin^{-1} x \, dx$**

部分積分法を用います。 $u = \sin^{-1} x$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$, $v = x$ となります。

$\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ を計算します。 $t = 1-x^2$ とおくと、$dt = -2x \, dx$ なので、

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt = -\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{t} = - \sqrt{1-x^2}$

したがって、$\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2}$

## 最終的な答え

(1) $\frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9}$

(2) $x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x$

(3) $\frac{x^2}{4} - \frac{1}{4} x \sin 2x - \frac{1}{8} \cos 2x$

(4) $x \tan x + \log |\cos x|$

(5) $\frac{1}{2} (e^x \cos x + e^x \sin x)$

(6) $x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x$

(7) $x \log(1+x^2) - 2x + 2 \arctan x$

(8) $x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2}$