三角関数の方程式 $sin θ + \sqrt{3}cos θ = \sqrt{2}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

三角関数の方程式 $sin θ + \sqrt{3}cos θ = \sqrt{2}$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

与えられた方程式は、$sin$ と $cos$ の和の形になっています。これを合成して、$sin$ だけの式に変形します。

まず、$sin θ + \sqrt{3}cos θ$ の係数に着目します。$sin θ$ の係数は $1$、$cos θ$ の係数は $\sqrt{3}$ です。

この $1$ と $\sqrt{3}$ を用いて、$r sin(θ + α)$ の形に合成します。

$r$ は $r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$ で求められます。

$sin θ + \sqrt{3}cos θ = 2( \frac{1}{2} sin θ + \frac{\sqrt{3}}{2} cos θ )$ と変形できます。

$\frac{1}{2} = cos \frac{π}{3}$、$\frac{\sqrt{3}}{2} = sin \frac{π}{3}$ なので、

$sin θ + \sqrt{3}cos θ = 2(cos \frac{π}{3} sin θ + sin \frac{π}{3} cos θ ) = 2 sin(θ + \frac{π}{3})$

したがって、与えられた方程式は $2 sin(θ + \frac{π}{3}) = \sqrt{2}$ となります。

両辺を $2$ で割ると、$sin(θ + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となります。

$sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $x$ は、$x = \frac{π}{4} + 2nπ$ または $x = \frac{3π}{4} + 2nπ$ ( $n$ は整数) です。

よって、$θ + \frac{π}{3} = \frac{π}{4} + 2nπ$ または $θ + \frac{π}{3} = \frac{3π}{4} + 2nπ$

$θ = \frac{π}{4} - \frac{π}{3} + 2nπ$ または $θ = \frac{3π}{4} - \frac{π}{3} + 2nπ$

$θ = \frac{3π - 4π}{12} + 2nπ$ または $θ = \frac{9π - 4π}{12} + 2nπ$

$θ = -\frac{π}{12} + 2nπ$ または $θ = \frac{5π}{12} + 2nπ$

3. 最終的な答え

$θ = -\frac{π}{12} + 2nπ, \frac{5π}{12} + 2nπ$ ($n$ は整数)