2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が与えられた条件を満たすような定数 $m$ の値の範囲を求める問題である。具体的には、 (1) 異なる2つの正の解を持つ場合 (2) 異なる2つの負の解を持つ場合 (3) 異なる2つの解がともに2以下である場合 (4) 1つの解が1より小さく、もう1つの解が1より大きい場合 について、$m$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が与えられた条件を満たすような定数 $m$ の値の範囲を求める問題である。具体的には、

(1) 異なる2つの正の解を持つ場合

(2) 異なる2つの負の解を持つ場合

(3) 異なる2つの解がともに2以下である場合

(4) 1つの解が1より小さく、もう1つの解が1より大きい場合

について、$m$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの正の解を持つ場合

数学Iの考え方（判別式、軸、端点のy座標）を用いる。

- 判別式 $D > 0$

- 軸 $> 0$

- $f(0) > 0$

まず、判別式 $D$ を計算する。

$D = (2m)^2 - 4(1)(2m + 3) = 4m^2 - 8m - 12 = 4(m^2 - 2m - 3) = 4(m-3)(m+1)$

$D > 0$ より、 $(m-3)(m+1) > 0$

したがって、$m < -1$ または $m > 3$ ...(1)

軸は $x = -m$ であるから、 $-m > 0$ より、$m < 0$ ...(2)

$f(0) = 2m + 3$ であるから、$2m + 3 > 0$ より、$m > -\frac{3}{2}$ ...(3)

(1), (2), (3)より、$-\frac{3}{2} < m < -1$。

数学IIの考え方（解と係数の関係）を用いる。

判別式 $D>0$ より、$m < -1$ または $m > 3$ ...(1)

2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より $\alpha + \beta = -2m > 0$ より $m < 0$ ...(2)

$\alpha\beta = 2m+3 > 0$ より $m > -\frac{3}{2}$ ...(3)

(1), (2), (3)より、$-\frac{3}{2} < m < -1$

(2) 異なる2つの負の解を持つ場合

数学Iの考え方

$D > 0$より、$m < -1$ または $m > 3$ ...(1)

$-m < 0$ より $m > 0$ ...(2)

$2m + 3 > 0$ より $m > -\frac{3}{2}$ ...(3)

(1), (2), (3)より、$m > 3$

(3) 異なる2つの解がともに2以下である場合

異なる2つの解を持つので、$m < -1, m > 3$

軸は$x = -m < 2$ より $m > -2$

$f(2) = 4 + 4m + 2m + 3 = 6m + 7 > 0$ より $m > -\frac{7}{6}$

したがって、$3 < m$

(4) 1つの解は1より小さく、もう1つの解は1より大きい場合

$f(1) = 1 + 2m + 2m + 3 = 4m + 4 < 0$ より $m < -1$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{3}{2} < m < -1$

(2) $m > 3$

(3) $m < -1$ or $m > 3$, and $m > -2$, and $m > -\frac{7}{6}$

(4) $m < -1$