(1) 放物線 $y = -3x^2 + 4x + 7$ を平行移動したもので、2点 $(1, 1)$ と $(2, -8)$ を通る2次関数を求める。 (2) $x$軸方向に1、$y$軸方向に-3だけ平行移動すると、3点 $(0, 3)$、$(1, -2)$、$(-1, 10)$ を通る2次関数を求める。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = -3x^2 + 4x + 7$ を平行移動したもので、2点 $(1, 1)$ と $(2, -8)$ を通る2次関数を求める。

(2) $x$軸方向に1、$y$軸方向に-3だけ平行移動すると、3点 $(0, 3)$、$(1, -2)$、$(-1, 10)$ を通る2次関数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

平行移動した放物線の方程式は $y = -3(x-p)^2 + 4(x-p) + 7 + q$ と表せる。ここで、$p, q$ は平行移動の量を表す定数である。

2点 $(1, 1)$ と $(2, -8)$ を通るので、これらを代入する。

$1 = -3(1-p)^2 + 4(1-p) + 7 + q$

$-8 = -3(2-p)^2 + 4(2-p) + 7 + q$

これらの式を整理すると、

$1 = -3(1 - 2p + p^2) + 4 - 4p + 7 + q$

$1 = -3 + 6p - 3p^2 + 4 - 4p + 7 + q$

$1 = -3p^2 + 2p + 8 + q$

$-3p^2 + 2p + 7 + q = 0$ ...(1)

$-8 = -3(4 - 4p + p^2) + 8 - 4p + 7 + q$

$-8 = -12 + 12p - 3p^2 + 8 - 4p + 7 + q$

$-8 = -3p^2 + 8p + 3 + q$

$-3p^2 + 8p + 11 + q = 0$ ...(2)

(2) - (1) より、

$(-3p^2 + 8p + 11 + q) - (-3p^2 + 2p + 7 + q) = 0$

$6p + 4 = 0$

$6p = -4$

$p = -\frac{2}{3}$

これを (1) に代入する。

$-3(\frac{4}{9}) + 2(-\frac{2}{3}) + 7 + q = 0$

$-\frac{4}{3} - \frac{4}{3} + 7 + q = 0$

$-\frac{8}{3} + 7 + q = 0$

$q = \frac{8}{3} - 7 = \frac{8 - 21}{3} = -\frac{13}{3}$

したがって、

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + 4(x + \frac{2}{3}) + 7 - \frac{13}{3}$

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}) + 4x + \frac{8}{3} + 7 - \frac{13}{3}$

$y = -3x^2 - 4x - \frac{4}{3} + 4x + \frac{8}{3} + \frac{21}{3} - \frac{13}{3}$

$y = -3x^2 + \frac{12}{3} = -3x^2 + 4$

(2)

平行移動前の2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とする。

平行移動後の関数は $y+3 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ となる。

$y = a(x-1)^2 + b(x-1) + c - 3$

これが3点 $(0, 3)$、$(1, -2)$、$(-1, 10)$ を通るので、

$3 = a(-1)^2 + b(-1) + c - 3$

$-2 = a(0)^2 + b(0) + c - 3$

$10 = a(-2)^2 + b(-2) + c - 3$

これらを整理すると、

$a - b + c = 6$ ...(1)

$c = 1$ ...(2)

$4a - 2b + c = 13$ ...(3)

(2)を(1)と(3)に代入して、

$a - b = 5$ ...(4)

$4a - 2b = 12$ ...(5)

(5)より、$2a - b = 6$ ...(6)

(6) - (4) より、$a = 1$

(4)より、$1 - b = 5$, $b = -4$

したがって、$y = x^2 - 4x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = -3x^2 + 4$

(2) $y = x^2 - 4x + 1$