放物線 $y=x^2 + ax + 2$ の頂点が、直線 $y = 2x + 3$ 上にあるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2 + ax + 2$ の頂点が、直線 $y = 2x + 3$ 上にあるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = x^2 + ax + 2$ を平方完成します。

$y = (x + \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 + 2$

$y = (x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} + 2$

したがって、頂点の座標は $(-\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + 2)$ となります。

(2) 頂点が直線 $y = 2x + 3$ 上にあるので、頂点の座標を直線の方程式に代入します。

$-\frac{a^2}{4} + 2 = 2(-\frac{a}{2}) + 3$

$-\frac{a^2}{4} + 2 = -a + 3$

(3) 上記の式を整理して、$a$ についての二次方程式を解きます。

両辺に4をかけると、

$-a^2 + 8 = -4a + 12$

$a^2 - 4a + 4 = 0$

$(a-2)^2 = 0$

$a = 2$

3. 最終的な答え

$a = 2$