$\overline{A}B = \overline{A}BC + \overline{A}B\overline{C}$

##

1. 問題の内容

画像に記載された2つの問題があります。

* 問題1: 論理式 $f = \overline{A}B + \overline{C}$ を積和標準形で表す。

* 問題2: 論理式 $\overline{A \cdot C} + \overline{B \cdot C} = \overline{A} \cdot C + B \cdot \overline{C}$ が成り立つことを式の変形を用いて示す。

##

2. 解き方の手順

### 問題1: 論理式 $f = \overline{A}B + \overline{C}$ を積和標準形で表す

積和標準形とは、複数の積項の和で表現された論理式のことです。この問題では、$f$ は既に積和の形に近いですが、完全な積和標準形にするために、各項に含まれていない変数を補います。

1. $\overline{A}B$ の項に $C$ を補う:

$\overline{A}B = \overline{A}BC + \overline{A}B\overline{C}$

2. $\overline{C}$ の項に $A$ と $B$ を補う:

$\overline{C} = A\overline{C} + \overline{A}\overline{C} = AB\overline{C} + A\overline{B}\overline{C} + \overline{A}B\overline{C} + \overline{A}\overline{B}\overline{C}$

3. $f$ を展開し、重複する項をまとめる:

$f = \overline{A}BC + \overline{A}B\overline{C} + AB\overline{C} + A\overline{B}\overline{C} + \overline{A}B\overline{C} + \overline{A}\overline{B}\overline{C}$

$f = \overline{A}BC + \overline{A}B\overline{C} + AB\overline{C} + A\overline{B}\overline{C} + \overline{A}\overline{B}\overline{C}$

したがって、$f$ の積和標準形は $\overline{A}BC + \overline{A}B\overline{C} + AB\overline{C} + A\overline{B}\overline{C} + \overline{A}\overline{B}\overline{C}$ となります。

### 問題2: 論理式 $\overline{A \cdot C} + \overline{B \cdot C} = \overline{A} \cdot C + B \cdot \overline{C}$ が成り立つことを示す

この問題では、ド・モルガンの法則と分配法則を使用します。

1. 左辺を変形する。まず、ド・モルガンの法則を適用します。

$\overline{A \cdot C} = \overline{A} + \overline{C}$

$\overline{B \cdot C} = \overline{B} + \overline{C}$

したがって、$\overline{A \cdot C} + \overline{B \cdot C} = (\overline{A} + \overline{C}) + (\overline{B} + \overline{C}) = \overline{A} + \overline{B} + \overline{C}$

2. 右辺は$\overline{A} \cdot C + B \cdot \overline{C}$ですが、この等式が成立するのか、問題文の意図が不明確です。

問題文が「$\overline{A \cdot C + B \cdot C} = \overline{A} \cdot C + B \cdot \overline{C}$」の間違いであると仮定して、左辺を変形します。

$\overline{A \cdot C + B \cdot C} = \overline{(A+B) \cdot C}$

ド・モルガンの法則を適用します。

$\overline{(A+B) \cdot C} = \overline{(A+B)} + \overline{C}$

ド・モルガンの法則を再度適用します。

$\overline{(A+B)} + \overline{C} = \overline{A} \cdot \overline{B} + \overline{C}$

この結果は右辺と一致しません。

3. 問題文がさらに「$\overline{A \cdot C + B \cdot C} = \overline{A \cdot C} \cdot \overline{B \cdot C}$」の間違いであると仮定します。

ド・モルガンの法則を適用すると、

$\overline{A \cdot C + B \cdot C} = \overline{A \cdot C} \cdot \overline{B \cdot C}$

したがって、

$\overline{A \cdot C + B \cdot C} = \overline{A \cdot C} \cdot \overline{B \cdot C}$ が成立します。

##

3. 最終的な答え

* 問題1: $f = \overline{A}BC + \overline{A}B\overline{C} + AB\overline{C} + A\overline{B}\overline{C} + \overline{A}\overline{B}\overline{C}$

* 問題2: 問題文の論理式に誤りがあり、$\overline{A \cdot C + B \cdot C} = \overline{A \cdot C} \cdot \overline{B \cdot C}$ であれば成立する。