放物線 $y = x^2 + 3x - 4$ を平行移動したもので、点 $(2, 3)$ を通り、頂点が直線 $y = x + 1$ 上にある放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 3x - 4$ を平行移動したもので、点 $(2, 3)$ を通り、頂点が直線 $y = x + 1$ 上にある放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線 $y = x^2 + 3x - 4$ を平方完成します。

$y = x^2 + 3x - 4 = (x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 - 4 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - \frac{16}{4} = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{25}{4}$

したがって、与えられた放物線の頂点は $(-\frac{3}{2}, -\frac{25}{4})$ です。

求める放物線は $y = x^2 + 3x - 4$ を平行移動したものなので、$y = (x - p)^2 + 3(x - p) - 4 + q$ と表せます。展開すると、$y = x^2 + 3x - 2px - 3p + p^2 - 4 + q = x^2 + (3 - 2p)x + p^2 - 3p - 4 + q$ となります。

しかし、今回は平方完成を利用する方がより簡単です。

平行移動後の放物線を $y = (x - a)^2 + b$ とおきます。この放物線は点 $(2, 3)$ を通るので、

$3 = (2 - a)^2 + b$

また、頂点 $(a, b)$ は直線 $y = x + 1$ 上にあるので、

$b = a + 1$

この二つの式を連立させて、$a$ と $b$ を求めます。$b = a + 1$ を $3 = (2 - a)^2 + b$ に代入すると、

$3 = (2 - a)^2 + a + 1$

$3 = 4 - 4a + a^2 + a + 1$

$a^2 - 3a + 2 = 0$

$(a - 1)(a - 2) = 0$

したがって、$a = 1$ または $a = 2$ です。

$a = 1$ のとき、$b = a + 1 = 1 + 1 = 2$ となるので、放物線は $y = (x - 1)^2 + 2 = x^2 - 2x + 1 + 2 = x^2 - 2x + 3$ となります。

$a = 2$ のとき、$b = a + 1 = 2 + 1 = 3$ となるので、放物線は $y = (x - 2)^2 + 3 = x^2 - 4x + 4 + 3 = x^2 - 4x + 7$ となります。

3. 最終的な答え

求める放物線の方程式は、

$y = x^2 - 2x + 3$ または $y = x^2 - 4x + 7$