指数と対数に関する計算問題です。具体的には、指数法則や対数の性質を用いて、式の空欄を埋める問題です。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

指数と対数に関する計算問題です。具体的には、指数法則や対数の性質を用いて、式の空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

(5) $2^{x+2} = 2^2 \times 2^x = 4 \times 2^x$

まず、指数法則 $a^{m+n} = a^m \times a^n$ を利用します。$2^{x+2}$ は $2^x$ に $2^2$をかけたもの、つまり $4 \times 2^x$ となります。

(6) $2^{x+3} = 2^3 \times 2^x = 8 \times 2^x$

指数法則を利用して計算します。$2^{x+3}$ は $2^x$ に $2^3$ をかけたもの、つまり $8 \times 2^x$ となります。

(7) $4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)} = 2^{2x+2}$

まず、$4 = 2^2$ であることを利用し、$4^{x+1}$ を $2$ の累乗で表します。指数法則 $(a^m)^n = a^{mn}$ を用いると、$2^{2(x+1)} = 2^{2x+2}$ となります。

(8) $9^{2x+3}=3$

$9^{2x+3} = (3^2)^{2x+3} = 3^{2(2x+3)} = 3^{4x+6} = 3^1$

よって、$4x+6=1$より、$4x = -5$, $x = -\frac{5}{4}$. したがって、$9^{2x+3}=9^{2(-\frac{5}{4})+3}=9^{-\frac{5}{2}+3}=9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3$。

(9) $\log_2 1 = 0$

対数の定義より、$2^0 = 1$ なので、$\log_2 1 = 0$ です。

(10) $\log_2 2 = 1$

対数の定義より、$2^1 = 2$ なので、$\log_2 2 = 1$ です。

(11) $\log_2 \frac{1}{2} = -1$

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$ なので、$\log_2 \frac{1}{2} = -1$ です。

(12) $\log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2}$

$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ なので、$\log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2}$ です。

(13) $\log_2 8 = 3$

$8 = 2^3$ なので、$\log_2 8 = 3$ です。

(14) $\log_5 5\sqrt{5} = \log_5 (5 \cdot 5^{\frac{1}{2}}) = \log_5 5^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$

$5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$ なので、$\log_5 5\sqrt{5} = \frac{3}{2}$ です。

(15) $\log_8 2 + \log_8 32 = \log_8 (2 \times 32) = \log_8 64 = 2$

対数の性質 $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ を利用します。 $\log_8 2 + \log_8 32 = \log_8 (2 \times 32) = \log_8 64 = \log_8 8^2 = 2$ です。

(16) $\log_3 45 - \log_3 5 = \log_3 \frac{45}{5} = \log_3 9 = 2$

対数の性質 $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ を利用します。 $\log_3 45 - \log_3 5 = \log_3 \frac{45}{5} = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$ です。

3. 最終的な答え

(5) 4

(6) 8

(7) $2^{2x+2}$

(8) $\frac{1}{2}$

(9) 0

(10) 1

(11) -1

(12) $\frac{1}{2}$

(13) 3

(14) $\frac{3}{2}$

(15) 2

(16) 2