与えられた4x4の行列の行列式を、行基本変形を用いて計算する問題です。サラスの方法は使用禁止で、行基本変形で三角行列に変形し、対角成分を掛ける方法で計算する必要があります。 行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{vmatrix} $
2025/6/19
1. 問題の内容
与えられた4x4の行列の行列式を、行基本変形を用いて計算する問題です。サラスの方法は使用禁止で、行基本変形で三角行列に変形し、対角成分を掛ける方法で計算する必要があります。
行列は以下の通りです。
$ \begin{vmatrix}
1 & 4 & -1 & 0 \\
2 & 9 & 2 & 3 \\
-1 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 14 & 1 & 2
\end{vmatrix} $
2. 解き方の手順
与えられた行列を行基本変形によって上三角行列に変形します。
行基本変形は行列式を変えないものと、定数倍するものがあります。定数倍する行基本変形を行った場合は、最後にその定数で割る必要があります。
1行目を基準として、2,3,4行目の第1成分を0にします。
* 2行目 - 2 * 1行目
$ \begin{vmatrix}
1 & 4 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 3 \\
-1 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 14 & 1 & 2
\end{vmatrix} $
* 3行目 + 1 * 1行目
$ \begin{vmatrix}
1 & 4 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 3 \\
0 & 5 & 1 & 3 \\
3 & 14 & 1 & 2
\end{vmatrix} $
* 4行目 - 3 * 1行目
$ \begin{vmatrix}
1 & 4 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 3 \\
0 & 5 & 1 & 3 \\
0 & 2 & 4 & 2
\end{vmatrix} $
2行目を基準として3,4行目の第2成分を0にします。
* 3行目 - 5 * 2行目
$ \begin{vmatrix}
1 & 4 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 3 \\
0 & 0 & -19 & -12 \\
0 & 2 & 4 & 2
\end{vmatrix} $
* 4行目 - 2 * 2行目
$ \begin{vmatrix}
1 & 4 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 3 \\
0 & 0 & -19 & -12 \\
0 & 0 & -4 & -4
\end{vmatrix} $
3行目を基準として、4行目の第3成分を0にします。
* 4行目 - (4/19) * 3行目
$ \begin{vmatrix}
1 & 4 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 3 \\
0 & 0 & -19 & -12 \\
0 & 0 & 0 & -4 + \frac{48}{19}
\end{vmatrix} $
$ \begin{vmatrix}
1 & 4 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 3 \\
0 & 0 & -19 & -12 \\
0 & 0 & 0 & -\frac{28}{19}
\end{vmatrix} $
行列式は対角成分の積で計算できます。
3. 最終的な答え
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