$\theta$ が鋭角で $\sin\theta = \frac{3}{5}$ のとき、$\cos\theta$, $\sin2\theta$, $\cos\frac{\theta}{2}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$ が鋭角で $\sin\theta = \frac{3}{5}$ のとき、$\cos\theta$, $\sin2\theta$, $\cos\frac{\theta}{2}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\cos\theta$ を求める。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の関係を利用します。

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos\theta > 0$。

したがって、$\cos\theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

(2) $\sin2\theta$ を求める。

$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ の関係を利用します。

$\sin2\theta = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$

(3) $\cos\frac{\theta}{2}$ を求める。

$\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1$ の関係を利用します。

$\frac{4}{5} = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1$

$2\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{4}{5} + 1 = \frac{9}{5}$

$\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{9}{10}$

$\theta$ が鋭角なので $\frac{\theta}{2}$ も鋭角であり、$\cos\frac{\theta}{2}>0$。

したがって、$\cos\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos\theta = \frac{4}{5}$

(2) $\sin2\theta = \frac{24}{25}$

(3) $\cos\frac{\theta}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$