与えられた3つの命題について、逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、それらの真偽を判定する。 (1) $x^2 = 1 \implies x = -1$ (2) $x = 3 \land y = 2 \implies x + y = 5$ (3) $n$ は10の倍数 $\implies n$ は2の倍数

1. 問題の内容

与えられた3つの命題について、逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、それらの真偽を判定する。

(1) $x^2 = 1 \implies x = -1$

(2) $x = 3 \land y = 2 \implies x + y = 5$

(3) $n$ は10の倍数 $\implies n$ は2の倍数

2. 解き方の手順

(1) $x^2 = 1 \implies x = -1$

* 元の命題：$x^2 = 1 \implies x = -1$。$x=1$のときも$x^2 = 1$を満たすので、偽。

* 逆：$x = -1 \implies x^2 = 1$。$x = -1$ならば$x^2 = (-1)^2 = 1$なので、真。

* 裏：$x^2 \neq 1 \implies x \neq -1$。例えば、$x = 1$のとき、$x^2 \neq 1$は偽、$x \neq -1$は真。$x^2 \neq 1$ならば、$x \neq 1$かつ$x \neq -1$であるので、$x \neq -1$は真とは限らないので偽。$x = 1$のとき、$x^2 = 1$となるので、$x^2 \neq 1$は偽となり、偽$\implies$偽であり真となる。

* 対偶：$x \neq -1 \implies x^2 \neq 1$。$x = 1$のとき、$x \neq -1$は真、$x^2 \neq 1$は偽なので、偽。対偶は元の命題の真偽と一致する。

(2) $x = 3 \land y = 2 \implies x + y = 5$

* 元の命題：$x = 3 \land y = 2 \implies x + y = 5$。$x = 3$かつ$y = 2$ならば$x + y = 3 + 2 = 5$なので、真。

* 逆：$x + y = 5 \implies x = 3 \land y = 2$。例えば、$x = 4, y = 1$のとき、$x + y = 5$だが、$x = 3 \land y = 2$は偽なので、偽。

* 裏：$\lnot (x = 3 \land y = 2) \implies x + y \neq 5$。$\lnot (x = 3 \land y = 2)$は、$x \neq 3 \lor y \neq 2$と同値。例えば、$x = 4, y = 1$のとき、$x \neq 3 \lor y \neq 2$は真だが、$x + y \neq 5$は偽なので、偽。

* 対偶：$x + y \neq 5 \implies \lnot (x = 3 \land y = 2)$。$x + y \neq 5 \implies x \neq 3 \lor y \neq 2$。元の命題が真なので、対偶も真。

(3) $n$ は10の倍数 $\implies n$ は2の倍数

* 元の命題：$n$ は10の倍数 $\implies n$ は2の倍数。$n = 10k$ (kは整数)と表せるので、$n = 2(5k)$となり、nは2の倍数。真。

* 逆：$n$ は2の倍数 $\implies n$ は10の倍数。$n = 2k$ (kは整数)と表せる。k = 1のとき、n = 2となり、nは2の倍数だが10の倍数ではないので、偽。

* 裏：$n$ は10の倍数でない $\implies n$ は2の倍数でない。例えば、$n = 2$のとき、$n$ は10の倍数でないは真、$n$ は2の倍数でないは偽なので、偽。

* 対偶：$n$ は2の倍数でない $\implies n$ は10の倍数でない。元の命題が真なので、対偶も真。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 = 1 \implies x = -1$

* 元の命題: 偽

* 逆: 真

* 裏: 偽

* 対偶: 偽

(2) $x = 3 \land y = 2 \implies x + y = 5$

* 元の命題: 真

* 逆: 偽

* 裏: 偽

* 対偶: 真

(3) $n$ は10の倍数 $\implies n$ は2の倍数

* 元の命題: 真

* 逆: 偽

* 裏: 偽

* 対偶: 真