1. 問題の内容
SHIKENの6文字を辞書式順に並べ替える。
(1) 140番目の文字列を求めよ。
(2) SHIKENは何番目の文字列か。
2. 解き方の手順
(1) 140番目の文字列を求める。
SHIKENの文字をアルファベット順に並べるとE, H, I, K, N, Sとなる。
1文字目がEの場合、残りの5文字の並び順は5! = 120通り。
1文字目がHの場合、残りの5文字の並び順は5! = 120通り。
1文字目がEの場合の順列は1番目から120番目、Hの場合の順列は121番目から240番目である。
よって140番目は1文字目がHである。
2文字目を考える。
2文字目がEの場合、残りの4文字の並び順は4! = 24通り。
121番目から144番目まではHEから始まる。
よって140番目はHEから始まる。
3文字目を考える。
残りの文字はI, K, N, Sである。
3文字目をアルファベット順に並べるとI, K, N, Sとなる。
HEIから始まる順列は3! = 6通り。
121+6-1 = 126なので、HEIから始まる順列は121から126番目である。
HEKから始まる順列は3! = 6通り。
121+6+6-1=132なので、HEKから始まる順列は127から132番目である。
HENから始まる順列は3! = 6通り。
121+6+6+6-1=138なので、HENから始まる順列は133から138番目である。
HESから始まる順列は3! = 6通り。
121+6+6+6+6-1=144なので、HESから始まる順列は139から144番目である。
よって140番目はHESから始まる。
4文字目を考える。
残りの文字はI, K, Nである。
HESIから始まる順列は2! = 2通り。
139, 140番目の順列がある。
HESKから始まる順列は2! = 2通り。
141, 142番目の順列がある。
HESNから始まる順列は2! = 2通り。
143, 144番目の順列がある。
よって140番目はHESIから始まる。
残りの文字はK, Nである。
HESIKN, HESINK
よって140番目の文字列はHESINKである。
(2) SHIKENは何番目の文字列か。
Eから始まる順列は5! = 120通り。
Hから始まる順列のうち、Eから始まる順列は4! = 24通り。
Iから始まる順列のうち、E, H以外から始まる順列は4! = 24通り。
Kから始まる順列のうち、E, H, I以外から始まる順列は4! = 24通り。
Sから始まる順列のうち、E, H, I, K以外から始まる順列は4! = 24通り。
SHから始まる順列のうち、E, I, K以外から始まる順列は4! = 6通り。
SIから始まる順列のうち、E, H, K以外から始まる順列は3! = 6通り。
SHIから始まる順列のうち、E, K以外から始まる順列は2! = 2通り。
SHIKから始まる順列のうち、E以外から始まる順列は1! = 1通り。
SHIKEから始まる順列は1通り。
したがってSHIKENは
番目
3. 最終的な答え
(1) 140番目の文字列: HESINK
(2) SHIKENは何番目の文字列か: 232番目