(i) 9人を3人ずつの3つのグループに分ける方法は何通りあるか？ (ii) 9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける方法は何通りあるか？

1. 問題の内容

(i) 9人を3人ずつの3つのグループに分ける方法は何通りあるか？

(ii) 9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける方法は何通りあるか？

2. 解き方の手順

(i)

まず、9人から3人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_9 C_3$ となります。

次に、残りの6人から3人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_6 C_3$ となります。

最後に、残りの3人から3人を選ぶ組み合わせは $_3 C_3 = 1$ 通りです。

したがって、3つのグループを作る組み合わせは $_9 C_3 \times _6 C_3 \times _3 C_3$ となります。

しかし、3つのグループは区別されないため、3!で割る必要があります。

$_9 C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

$_6 C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$_3 C_3 = 1$

$\frac{_9 C_3 \times _6 C_3 \times _3 C_3}{3!} = \frac{84 \times 20 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{6} = 280$

(ii)

9人から2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_9 C_2$ となります。

次に、残りの7人から3人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_7 C_3$ となります。

最後に、残りの4人から4人を選ぶ組み合わせは $_4 C_4 = 1$ 通りです。

したがって、2人、3人、4人のグループを作る組み合わせは $_9 C_2 \times _7 C_3 \times _4 C_4$ となります。

$_9 C_2 = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

$_7 C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

$_4 C_4 = 1$

$_9 C_2 \times _7 C_3 \times _4 C_4 = 36 \times 35 \times 1 = 1260$

3. 最終的な答え

(i) 280通り

(ii) 1260通り