(5) $(1+3i)(5+4i)$ を計算せよ。 (6) $\frac{1}{3+i}$ を $a+bi$ の形で表せ。

1. 問題の内容

(5) $(1+3i)(5+4i)$ を計算せよ。

(6) $\frac{1}{3+i}$ を $a+bi$ の形で表せ。

2. 解き方の手順

(5) $(1+3i)(5+4i)$ を展開し、整理する。$i^2 = -1$ であることに注意する。

(6) $\frac{1}{3+i}$ の分母の有理化を行う。分母の共役複素数 $3-i$ を分母と分子に掛ける。その後、実部と虚部を分離する。

(5)

$(1+3i)(5+4i) = 1 \cdot 5 + 1 \cdot 4i + 3i \cdot 5 + 3i \cdot 4i = 5 + 4i + 15i + 12i^2$

$i^2 = -1$ なので、

$5 + 4i + 15i - 12 = -7 + 19i$

(6)

$\frac{1}{3+i} = \frac{1}{3+i} \cdot \frac{3-i}{3-i} = \frac{3-i}{(3+i)(3-i)}$

$(3+i)(3-i) = 3^2 - (i)^2 = 9 - (-1) = 10$

したがって、

$\frac{3-i}{10} = \frac{3}{10} - \frac{1}{10}i$

3. 最終的な答え

(5) $-7 + 19i$

(6) $\frac{3}{10} - \frac{1}{10}i$