$a, b$ を実数、$i$ を虚数単位とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 12 = 0$ が $-1 + \sqrt{3}i$ を解に持つとき、残りの解と $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a, b$ を実数、$i$ を虚数単位とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 12 = 0$ が $-1 + \sqrt{3}i$ を解に持つとき、残りの解と $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

ア：

$x^3 + ax^2 + bx + 12 = 0$ は実数係数の方程式であるから、解の一つが $\alpha = -1 + \sqrt{3}i$ ならば、その共役複素数 $\overline{\alpha} = -1 - \sqrt{3}i$ も解である。

イ、ウ：

$g(x) = (x - \alpha)(x - \overline{\alpha})$ を計算する。

\begin{align*}

g(x) &= (x - (-1 + \sqrt{3}i))(x - (-1 - \sqrt{3}i)) \\

&= (x + 1 - \sqrt{3}i)(x + 1 + \sqrt{3}i) \\

&= ((x + 1) - \sqrt{3}i)((x + 1) + \sqrt{3}i) \\

&= (x + 1)^2 - (\sqrt{3}i)^2 \\

&= x^2 + 2x + 1 - (-3) \\

&= x^2 + 2x + 4

\end{align*}

したがって、$g(x) = x^2 - (-2)x + 4$ となる。

エ、オ、カ：

$x^3 + ax^2 + bx + 12$ を $g(x) = x^2 + 2x + 4$ で割ると、

$x^3 + ax^2 + bx + 12 = (x^2 + 2x + 4)(x + a - 2) + (b - 2a - 4)x + 12 - 4a + 8$

となる。

x^3 + ax^2 + bx + 12はg(x)で割り切れるから、余りは０である。

したがって、$b - 2a - 4 = 0$ かつ $12 - 4a + 8 = 0$。

$12 - 4a + 8 = 0$ より $4a = 20$ なので $a = 5$。

$b - 2a - 4 = 0$ より $b = 2a + 4 = 2(5) + 4 = 14$。

したがって、$x^3 + 5x^2 + 14x + 12 = (x^2 + 2x + 4)(x + 3)$ となる。

よって、$x^3 + ax^2 + bx + 12 = (x^2 + 2x + 4)(x + 3)$

キ、ク：

$a = 5$, $b = 14$

ケ：

$x^2 + 2x + 4 = 0$ の解は $x = -1 \pm \sqrt{3}i$ であり、$x + 3 = 0$ の解は $x = -3$。

最終的な答え

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 12 = 0$ (a,bは実数) が $-1 + \sqrt{3}i$ を解に持つとき、残りの解と a, b の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた複素数解の共役複素数も解となることを利用して、二次式 $g(x)$ を構成し、元の3次式を $g(x)$ で割ることで、係数 a, b の値を特定する。

最後に、残りの解を求める。

3. 最終的な答え

ア: $-1 - \sqrt{3}i$

イ: $-2$

ウ: $4$

エ: $a-2$

オ: $b-2a-4$

カ: $12-4a+8$

キ: $5$

ク: $14$

ケ: $-3$