SUCCESSという7文字の単語について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 7文字すべてを1列に並べる並べ方は何通りあるか。 (2) U, Eがこの順に並ぶ並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

SUCCESSという7文字の単語について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 7文字すべてを1列に並べる並べ方は何通りあるか。

(2) U, Eがこの順に並ぶ並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 7文字すべてを1列に並べる場合

SUCCESSの7文字には、Sが3つ、Cが2つ含まれています。同じ文字が含まれている場合の順列の数を求める公式を使います。7文字すべてを並べる場合の数は7!通りですが、Sが3つ、Cが2つあるため、同じ文字の並び順を区別しないように割る必要があります。

並べ方の総数は、

$\frac{7!}{3!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{2} = 7 \times 6 \times 5 \times 2 = 420$

(2) U, Eがこの順に並ぶ場合

まず、SUCCESSの7文字からUとEの2文字を除いた残りの5文字(S, S, S, C, C)を並べます。

次に、UとEを並べる場所を考えます。

まず、7つの文字を並べる場所を用意します。UとEを区別しないものとして考えた場合、7つの場所からUとEの2つを配置する場所を選ぶ組み合わせは、${}_7 C_2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$ 通りです。UとEの順番が固定されているので、U, Eの順に並べるしかありません。

残りのS, S, S, C, Cの5文字の並べ方は、$\frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通りです。

したがって、U, Eがこの順に並ぶ並べ方は、

$\frac{7!}{3!2!} \times \frac{1}{2} = 420 \times \frac{1}{2}=840 / 2 = 420$ 通りです。

U, Eの順番が指定されているので、U, Eの2文字を並べる順番である2! = 2で割ればよいです。

または、

${}_7 C_2 \times \frac{5!}{3!2!} = 21 \times 10 = 210$

(2) の解答は、画像にある通り720通りではありません。

７文字の中からUとEの場所を決め、残り５つの場所に残りの文字を並べる必要があります。

3. 最終的な答え

(1) 420通り

(2) 420通り