三角形ABCにおいて、点Pは辺BC上に、点Qは辺AC上に、点Rは辺AB上にある。AP, BQ, CRは一点Oで交わっている。BR = 3, RA = 4, AQ = 2, QC = 4, BP = x, PC = yであるとき、x:yを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Pは辺BC上に、点Qは辺AC上に、点Rは辺AB上にある。AP, BQ, CRは一点Oで交わっている。BR = 3, RA = 4, AQ = 2, QC = 4, BP = x, PC = yであるとき、x:yを求めよ。

2. 解き方の手順

チェバの定理より、

$\frac{BR}{RA} \cdot \frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CP}{PB} = 1$

が成り立つ。

与えられた値を代入すると、

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{y}{x} = 1$

$\frac{6}{16} \cdot \frac{y}{x} = 1$

$\frac{3}{8} \cdot \frac{y}{x} = 1$

$\frac{y}{x} = \frac{8}{3}$

$\frac{x}{y} = \frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

x:y = 3:8