3点 $A(-1, 1)$, $B(2, 2)$, $C(t, -1)$ が与えられている。$\angle ABC = 90^\circ$ となるような実数 $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

3点 $A(-1, 1)$, $B(2, 2)$, $C(t, -1)$ が与えられている。$\angle ABC = 90^\circ$ となるような実数 $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\angle ABC = 90^\circ$ であることから、ベクトル $\overrightarrow{BA}$ と $\overrightarrow{BC}$ が直交する。つまり、$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ が成り立つ。

まず、ベクトル $\overrightarrow{BA}$ と $\overrightarrow{BC}$ を求める。

$\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} t \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t-2 \\ -3 \end{pmatrix}$

次に、$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ を計算する。

$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-3)(t-2) + (-1)(-3) = 0$

$-3t + 6 + 3 = 0$

$-3t + 9 = 0$

$-3t = -9$

$t = 3$

3. 最終的な答え

$t = 3$