3点A, B(0, 1), C(4, 3) がある。三角形ABCが∠BAC = 90°の直角三角形となるようなx軸上の点Aの座標を求めよ。

1. 問題の内容

3点A, B(0, 1), C(4, 3) がある。三角形ABCが∠BAC = 90°の直角三角形となるようなx軸上の点Aの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

点Aはx軸上にあるので、その座標を(x, 0)と置く。

三角形ABCが∠BAC = 90°の直角三角形であるということは、ベクトルABとベクトルACの内積が0になるということである。

ベクトルAB = (0 - x, 1 - 0) = (-x, 1)

ベクトルAC = (4 - x, 3 - 0) = (4 - x, 3)

ベクトルABとベクトルACの内積は

$(-x)(4 - x) + (1)(3) = 0$

この式を解く。

$-4x + x^2 + 3 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

$x = 1, 3$

したがって、点Aの座標は(1, 0)または(3, 0)となる。

3. 最終的な答え

(1, 0), (3, 0)