3点 $A(-1, 1), B(t, t), C(3, -1)$ が与えられたとき、三角形 $ABC$ が $AB = BC$ を満たす二等辺三角形となるような実数 $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

3点 $A(-1, 1), B(t, t), C(3, -1)$ が与えられたとき、三角形 $ABC$ が $AB = BC$ を満たす二等辺三角形となるような実数 $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$AB = BC$ という条件から $AB^2 = BC^2$ を導き出し、$A, B, C$ の座標を用いて $AB^2$ と $BC^2$ を $t$ の式で表す。その後、得られた方程式を解いて $t$ の値を求める。

まず、$AB^2$ を計算する。

$AB^2 = (t - (-1))^2 + (t - 1)^2 = (t + 1)^2 + (t - 1)^2 = t^2 + 2t + 1 + t^2 - 2t + 1 = 2t^2 + 2$

次に、$BC^2$ を計算する。

$BC^2 = (3 - t)^2 + (-1 - t)^2 = (3 - t)^2 + (-t - 1)^2 = 9 - 6t + t^2 + t^2 + 2t + 1 = 2t^2 - 4t + 10$

$AB^2 = BC^2$ より、

$2t^2 + 2 = 2t^2 - 4t + 10$

$2 = -4t + 10$

$4t = 8$

$t = 2$

3. 最終的な答え

$t = 2$