0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から異なる3個を選んで並べ、3桁の整数を作る。 (i) 3桁の整数は全部で何個できるか。 (ii) 偶数は全部で何個できるか。 (iii) 321以下の整数は全部で何個できるか。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から異なる3個を選んで並べ、3桁の整数を作る。

(i) 3桁の整数は全部で何個できるか。

(ii) 偶数は全部で何個できるか。

(iii) 321以下の整数は全部で何個できるか。

2. 解き方の手順

(i) 3桁の整数

百の位は0以外の5通り。十の位は百の位で使った数字以外なので5通り。一の位は百の位と十の位で使った数字以外なので4通り。

よって、

$5 \times 5 \times 4 = 100$

100個

(ii) 偶数

一の位が0, 2, 4の場合と、そうでない場合を分けて考える。

1. 一の位が0の場合:

百の位は0以外なので5通り。十の位は残りの4通り。

$5 \times 4 = 20$

20個

2. 一の位が2, 4の場合:

一の位は2通り。百の位は0と一の位で使った数以外なので4通り。十の位は百の位と一の位で使った数以外なので4通り。

$2 \times 4 \times 4 = 32$

32個

よって、

$20 + 32 = 52$

52個

(iii) 321以下の整数

百の位が1, 2, 3の場合を考える。

1. 百の位が1の場合:

十の位は5通り、一の位は4通り

$1 \times 5 \times 4 = 20$

20個

2. 百の位が2の場合:

十の位は5通り、一の位は4通り

$1 \times 5 \times 4 = 20$

20個

3. 百の位が3の場合:

十の位が0か1の場合

- 十の位が0の場合：一の位は5通り

$1 \times 1 \times 5 = 5$

5個

- 十の位が1の場合：一の位は5通り

$1 \times 1 \times 5 = 5$

5個

十の位が2の場合：一の位は0

- 320: 条件を満たす。

十の位が2で一の位が1の場合：

- 321: 条件を満たす。

320と321の場合

$1+1=2$

よって

$20 + 20 + 5 + 5 + 2 = 52$

52個

3. 最終的な答え

(i) 100個

(ii) 52個

(iii) 52個