$\sqrt{11+4\sqrt{7}}$, $\sqrt{10-\sqrt{84}}$, $\sqrt{16-3\sqrt{28}}$ のうち、小数部分が $\sqrt{7}$ の小数部分と等しいものはどれか、という問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{11+4\sqrt{7}}$, $\sqrt{10-\sqrt{84}}$, $\sqrt{16-3\sqrt{28}}$ のうち、小数部分が $\sqrt{7}$ の小数部分と等しいものはどれか、という問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{7}$ の小数部分を求めます。

$2 < \sqrt{7} < 3$ であるから、$\sqrt{7}$ の整数部分は2です。したがって、$\sqrt{7}$ の小数部分は $\sqrt{7} - 2$ です。

次に、与えられた3つの数の小数部分を求めます。

(1) $\sqrt{11+4\sqrt{7}}$ について

$\sqrt{11+4\sqrt{7}} = \sqrt{11+2\sqrt{28}} = \sqrt{(\sqrt{4})^2 + (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{4}\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{7})^2} = \sqrt{(2+\sqrt{7})^2} = 2+\sqrt{7}$

$2+\sqrt{7}$ の小数部分は $\sqrt{7}$ なので、小数部分は $\sqrt{7}-2$ と等しくありません。整数部分は$2+2=4$なので、$2+\sqrt{7}$の小数部分は$\sqrt{7}-2+2 = \sqrt{7}-2+2 - 4+4 - 4 + 4$となり、$\sqrt{7} - 2$ と等しくありません。

この場合、$4 < 2+\sqrt{7} < 5$ なので、整数部分は4です。したがって、小数部分は $2+\sqrt{7}-4 = \sqrt{7}-2$ です。

(2) $\sqrt{10-\sqrt{84}}$ について

$\sqrt{10-\sqrt{84}} = \sqrt{10-2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2} = |\sqrt{7}-\sqrt{3}| = \sqrt{7}-\sqrt{3}$

$\sqrt{3} \approx 1.732$ なので、$\sqrt{7} - \sqrt{3} \approx 2.646 - 1.732 = 0.914$

$0 < \sqrt{7} - \sqrt{3} < 1$ なので、整数部分は0です。したがって、小数部分は $\sqrt{7} - \sqrt{3}$ です。これは $\sqrt{7}-2$ と等しくありません。

(3) $\sqrt{16-3\sqrt{28}}$ について

$\sqrt{16-3\sqrt{28}} = \sqrt{16-3\cdot2\sqrt{7}} = \sqrt{16-6\sqrt{7}}$

$16-6\sqrt{7} = 16-6(2.64575...) = 16-15.8745... = 0.1255$

$\sqrt{16-6\sqrt{7}} = \sqrt{0.1255} \approx 0.354$

整数部分は0なので、小数部分は0.354です。これは $\sqrt{7}-2$ と等しくありません。

$\sqrt{11+4\sqrt{7}} = \sqrt{7}+2$の小数部分が$\sqrt{7}-2$と一致します。

3. 最終的な答え

$\sqrt{11+4\sqrt{7}}$