不等式 $2\cos^2{\theta} - \sin{\theta} - 2 > 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $2\cos^2{\theta} - \sin{\theta} - 2 > 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2{\theta}$ を $\sin{\theta}$ で表します。三角関数の恒等式 $\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ より、$\cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta}$ となります。

これを不等式に代入すると、

$2(1 - \sin^2{\theta}) - \sin{\theta} - 2 > 0$

$2 - 2\sin^2{\theta} - \sin{\theta} - 2 > 0$

$-2\sin^2{\theta} - \sin{\theta} > 0$

$2\sin^2{\theta} + \sin{\theta} < 0$

$\sin{\theta}(2\sin{\theta} + 1) < 0$

ここで、$x = \sin{\theta}$ とおくと、$x(2x + 1) < 0$ となります。

この不等式を解くと、$-\frac{1}{2} < x < 0$ となります。

したがって、$-\frac{1}{2} < \sin{\theta} < 0$ となります。

$\sin{\theta} = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ です。

$\sin{\theta} < 0$ となるのは、$\pi < \theta < 2\pi$ の範囲です。

したがって、$\pi < \theta < \frac{7\pi}{6}$ または $\frac{11\pi}{6} < \theta < 2\pi$ が解となります。

3. 最終的な答え

$\pi < \theta < \frac{7\pi}{6}$, $\frac{11\pi}{6} < \theta < 2\pi$