与えられた3x3行列の行列式を、行基本変形を用いて計算する問題です。行列は $ \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 \end{pmatrix} $ です。サラスの方法は使用禁止で、行基本変形の内容を記述する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の行列式を、行基本変形を用いて計算する問題です。行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 \end{pmatrix}$

です。サラスの方法は使用禁止で、行基本変形の内容を記述する必要があります。

2. 解き方の手順

(1) まず、(2行目) + (1行目) および (3行目) - 3 * (1行目) の行基本変形を行い、(1,1)成分を基準に1列目を0にします。

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{(2行目)+(1行目)} \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 0 & 6 & 2 \\ 3 & 14 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{(3行目)-3*(1行目)} \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 0 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

(2) 次に、(3行目) - (1/3) * (2行目) の行基本変形を行い、(2,2)成分を基準に2列目を0にします。

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 0 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} \xrightarrow{(3行目)-(1/3)*(2行目)} \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 0 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 10/3 \end{pmatrix}$

(3) 行列式は、三角行列の対角成分の積で求まります。今回の行基本変形は行列式を変化させない操作なので、元の行列の行列式は、変形後の行列の行列式と等しくなります。

したがって、求める行列式は $1 \times 6 \times (10/3) = 20$ となります。

3. 最終的な答え

20