与えられた行列の行列式を、行基本変形を用いて計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{pmatrix} $ サラスの方法は使わずに、行基本変形を用いて三角行列に変形し、対角成分を掛ける方法で計算する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を、行基本変形を用いて計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

2 & 9 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{pmatrix}

$$

サラスの方法は使わずに、行基本変形を用いて三角行列に変形し、対角成分を掛ける方法で計算する必要があります。

2. 解き方の手順

与えられた行列をAとします。

$$

A = \begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

2 & 9 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{pmatrix}

$$

(1) 2行目を1行目の-2倍を足して更新、3行目を1行目の1倍を足して更新、4行目を1行目の-3倍を足して更新します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{pmatrix}

$$

(2) 3行目を2行目の-5倍を足して更新、4行目を2行目の-2倍を足して更新します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & -4 & -4

\end{pmatrix}

$$

(3) 4行目を3行目の -4/19 倍を足して更新します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -4 + \frac{48}{19}

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -\frac{28}{19}

\end{pmatrix}

$$

行列式は対角成分の積で計算できるので、

$1 \times 1 \times (-19) \times (-\frac{28}{19}) = 28$

3. 最終的な答え

行列式は28です。