$n$ が自然数のとき、以下の等式が成り立つことを証明する問題です。 $\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k^3 + 5\sum_{k=1}^{n} k^4 = n^2(n+1)^3$

1. 問題の内容

$n$ が自然数のとき、以下の等式が成り立つことを証明する問題です。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k^3 + 5\sum_{k=1}^{n} k^4 = n^2(n+1)^3$

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明します。

(i) $n=1$ のとき

左辺 $= \sum_{k=1}^{1} k^2 + 2\sum_{k=1}^{1} k^3 + 5\sum_{k=1}^{1} k^4 = 1^2 + 2(1^3) + 5(1^4) = 1 + 2 + 5 = 8$

右辺 $= 1^2(1+1)^3 = 1(2^3) = 8$

よって、$n=1$ のとき、等式は成り立ちます。

(ii) $n=m$ のとき、等式が成り立つと仮定すると、

$\sum_{k=1}^{m} k^2 + 2\sum_{k=1}^{m} k^3 + 5\sum_{k=1}^{m} k^4 = m^2(m+1)^3$ が成り立ちます。

$n=m+1$ のとき、等式が成り立つことを示します。

$\sum_{k=1}^{m+1} k^2 + 2\sum_{k=1}^{m+1} k^3 + 5\sum_{k=1}^{m+1} k^4$

$= \sum_{k=1}^{m} k^2 + (m+1)^2 + 2(\sum_{k=1}^{m} k^3 + (m+1)^3) + 5(\sum_{k=1}^{m} k^4 + (m+1)^4)$

$= (\sum_{k=1}^{m} k^2 + 2\sum_{k=1}^{m} k^3 + 5\sum_{k=1}^{m} k^4) + (m+1)^2 + 2(m+1)^3 + 5(m+1)^4$

仮定より、$\sum_{k=1}^{m} k^2 + 2\sum_{k=1}^{m} k^3 + 5\sum_{k=1}^{m} k^4 = m^2(m+1)^3$ であるから、

$= m^2(m+1)^3 + (m+1)^2 + 2(m+1)^3 + 5(m+1)^4$

$= (m+1)^2[m^2(m+1) + 1 + 2(m+1) + 5(m+1)^2]$

$= (m+1)^2[m^3 + m^2 + 1 + 2m + 2 + 5(m^2 + 2m + 1)]$

$= (m+1)^2[m^3 + m^2 + 1 + 2m + 2 + 5m^2 + 10m + 5]$

$= (m+1)^2[m^3 + 6m^2 + 12m + 8]$

$= (m+1)^2(m+2)^3$

$= (m+1)^2((m+1)+1)^3$

これは、$n=m+1$ のときの右辺 $(m+1)^2((m+1)+1)^3$ に一致します。

したがって、$n=m+1$ のときも等式は成り立ちます。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ に対して等式は成り立ちます。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k^3 + 5\sum_{k=1}^{n} k^4 = n^2(n+1)^3$ が成り立つ。