## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた4つの方程式を解きます。

(1) $8x^3 - 1 = 0$

(2) $2x^4 + x^2 - 6 = 0$

(3) $x(x+1)(x+2) = 2 \cdot 3 \cdot 4$

(4) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12 = 0$

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2. 解き方の手順

**(1) $8x^3 - 1 = 0$**

この式は、$(2x)^3 - 1^3 = 0$ と書けるので、因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を使います。

$(2x - 1)((2x)^2 + (2x)(1) + 1^2) = 0$

$(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) = 0$

したがって、$2x - 1 = 0$ または $4x^2 + 2x + 1 = 0$。

$2x - 1 = 0$ から、$x = \frac{1}{2}$。

$4x^2 + 2x + 1 = 0$ を解くために、二次方程式の解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を使います。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(4)(1)}}{2(4)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{8} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{8} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{4}$

**(2) $2x^4 + x^2 - 6 = 0$**

$x^2 = t$ とおくと、$2t^2 + t - 6 = 0$。

$(2t - 3)(t + 2) = 0$

したがって、$2t - 3 = 0$ または $t + 2 = 0$。

$2t - 3 = 0$ から、$t = \frac{3}{2}$。よって、$x^2 = \frac{3}{2}$ より $x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$。

$t + 2 = 0$ から、$t = -2$。よって、$x^2 = -2$ より $x = \pm \sqrt{-2} = \pm i\sqrt{2}$。

**(3) $x(x+1)(x+2) = 2 \cdot 3 \cdot 4$**

$x(x+1)(x+2) = 24$

$x(x^2 + 3x + 2) = 24$

$x^3 + 3x^2 + 2x - 24 = 0$

$x=2$を代入すると、$8 + 12 + 4 - 24 = 0$ となるので、$x=2$ は解の一つである。

したがって、$(x-2)$で因数分解できる。

$x^3 + 3x^2 + 2x - 24 = (x-2)(x^2 + 5x + 12) = 0$

$x-2 = 0$ から、$x = 2$。

$x^2 + 5x + 12 = 0$ を解くために、二次方程式の解の公式を使います。

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(12)}}{2(1)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{-23}}{2} = \frac{-5 \pm i\sqrt{23}}{2}$

**(4) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12 = 0$**

$x^2 - x = t$ とおくと、$t^2 - 8t + 12 = 0$。

$(t - 2)(t - 6) = 0$

したがって、$t - 2 = 0$ または $t - 6 = 0$。

$t - 2 = 0$ から、$t = 2$。よって、$x^2 - x = 2$ より $x^2 - x - 2 = 0$。 $(x - 2)(x + 1) = 0$ より $x = 2, -1$。

$t - 6 = 0$ から、$t = 6$。よって、$x^2 - x = 6$ より $x^2 - x - 6 = 0$。 $(x - 3)(x + 2) = 0$ より $x = 3, -2$。

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3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{2}, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{4}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{4}$

(2) $x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}, \pm i\sqrt{2}$

(3) $x = 2, \frac{-5 + i\sqrt{23}}{2}, \frac{-5 - i\sqrt{23}}{2}$

(4) $x = 2, -1, 3, -2$