与えられた4つの数式を解く問題です。 (1) $8x^3 - 1 = 0$ (2) $2x^2 + x - 6 = 0$ (3) $x(x+1)(x+2) = 2 \cdot 3 \cdot 4$ (4) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12 = 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの数式を解く問題です。

(1) $8x^3 - 1 = 0$

(2) $2x^2 + x - 6 = 0$

(3) $x(x+1)(x+2) = 2 \cdot 3 \cdot 4$

(4) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $8x^3 - 1 = 0$

これは因数分解できます。

$8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3 = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) = 0$

したがって、$2x - 1 = 0$ または $4x^2 + 2x + 1 = 0$

$2x - 1 = 0$ より $x = \frac{1}{2}$

$4x^2 + 2x + 1 = 0$ は二次方程式なので、解の公式を使います。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{8} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{8} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{4}$

(2) $2x^2 + x - 6 = 0$

これは因数分解できます。

$2x^2 + x - 6 = (2x - 3)(x + 2) = 0$

したがって、$2x - 3 = 0$ または $x + 2 = 0$

$2x - 3 = 0$ より $x = \frac{3}{2}$

$x + 2 = 0$ より $x = -2$

(3) $x(x+1)(x+2) = 2 \cdot 3 \cdot 4$

$x(x+1)(x+2) = x(x^2 + 3x + 2) = x^3 + 3x^2 + 2x$

$2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

$x^3 + 3x^2 + 2x = 24$

$x^3 + 3x^2 + 2x - 24 = 0$

$x = 2$ を代入すると、$8 + 12 + 4 - 24 = 0$ となるので、$x = 2$ は解の一つです。

$x^3 + 3x^2 + 2x - 24 = (x - 2)(x^2 + 5x + 12) = 0$

$x^2 + 5x + 12 = 0$ を解の公式で解くと、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{-23}}{2} = \frac{-5 \pm i\sqrt{23}}{2}$

(4) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12 = 0$

$y = x^2 - x$ とおくと、$y^2 - 8y + 12 = 0$

$(y - 2)(y - 6) = 0$

したがって、$y = 2$ または $y = 6$

$x^2 - x = 2$ のとき、$x^2 - x - 2 = 0$ より $(x - 2)(x + 1) = 0$ なので、$x = 2, -1$

$x^2 - x = 6$ のとき、$x^2 - x - 6 = 0$ より $(x - 3)(x + 2) = 0$ なので、$x = 3, -2$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{2}, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{4}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{4}$

(2) $x = \frac{3}{2}, -2$

(3) $x = 2, \frac{-5 + i\sqrt{23}}{2}, \frac{-5 - i\sqrt{23}}{2}$

(4) $x = 2, -1, 3, -2$