点Pが円 $x^2 + 2x + y^2 - 3 = 0$ 上を動くとき、2点 A(3, 1), B(1, -4) と点Pを頂点とする三角形 ABP の重心 G の軌跡が円となる。その円の中心 (a, b) と半径 r を求めよ。

1. 問題の内容

点Pが円 $x^2 + 2x + y^2 - 3 = 0$ 上を動くとき、2点 A(3, 1), B(1, -4) と点Pを頂点とする三角形 ABP の重心 G の軌跡が円となる。その円の中心 (a, b) と半径 r を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた円の式を平方完成し、円の中心と半径を求めます。

$x^2 + 2x + y^2 - 3 = 0$

$(x + 1)^2 - 1 + y^2 - 3 = 0$

$(x + 1)^2 + y^2 = 4 = 2^2$

この円の中心は (-1, 0) で、半径は 2 です。

次に、点 P の座標を $(x_p, y_p)$、重心 G の座標を $(x_g, y_g)$ とします。

重心 G の座標は、A, B, P の座標の平均なので、

$x_g = \frac{x_p + 3 + 1}{3} = \frac{x_p + 4}{3}$

$y_g = \frac{y_p + 1 + (-4)}{3} = \frac{y_p - 3}{3}$

上記の式から、$x_p$ と $y_p$ を $x_g$ と $y_g$ で表すと、

$x_p = 3x_g - 4$

$y_p = 3y_g + 3$

点 P は円 $(x + 1)^2 + y^2 = 4$ 上の点なので、この式に $x_p$ と $y_p$ を代入すると、

$(3x_g - 4 + 1)^2 + (3y_g + 3)^2 = 4$

$(3x_g - 3)^2 + (3y_g + 3)^2 = 4$

$9(x_g - 1)^2 + 9(y_g + 1)^2 = 4$

$(x_g - 1)^2 + (y_g + 1)^2 = \frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$

したがって、重心 G の軌跡は、中心が (1, -1) で、半径が $\frac{2}{3}$ の円となります。

よって、$a = 1$, $b = -1$, $r = \frac{2}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = -1$

$r = \frac{2}{3}$