2次方程式 $x^2 - 7x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の2つの数を解とする2次方程式をそれぞれ一つ作成する。 (1) $\frac{2}{\alpha}$, $\frac{2}{\beta}$ (2) $\alpha^2$, $\beta^2$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 7x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の2つの数を解とする2次方程式をそれぞれ一つ作成する。

(1) $\frac{2}{\alpha}$, $\frac{2}{\beta}$

(2) $\alpha^2$, $\beta^2$

2. 解き方の手順

(1) $\alpha$, $\beta$ は $x^2 - 7x - 1 = 0$ の解なので、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 7$

$\alpha\beta = -1$

$\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} = 2\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right) = 2\left(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\right) = 2\left(\frac{7}{-1}\right) = -14$

$\frac{2}{\alpha} \cdot \frac{2}{\beta} = \frac{4}{\alpha\beta} = \frac{4}{-1} = -4$

よって、$\frac{2}{\alpha}$, $\frac{2}{\beta}$ を解とする2次方程式は、

$x^2 - (-14)x + (-4) = 0$

$x^2 + 14x - 4 = 0$

(2) $\alpha + \beta = 7$

$\alpha\beta = -1$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 7^2 - 2(-1) = 49 + 2 = 51$

$\alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (-1)^2 = 1$

よって、$\alpha^2$, $\beta^2$ を解とする2次方程式は、

$x^2 - (\alpha^2 + \beta^2)x + \alpha^2\beta^2 = 0$

$x^2 - 51x + 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 14x - 4 = 0$

(2) $x^2 - 51x + 1 = 0$