点Pが放物線 $C: y = x^2 + 2x - 1$ 上を動くとき、点Pと点A(3, 0)の中点Qの軌跡の方程式を求めます。さらに、点Pと点Aの中点Qも放物線C上にあるとき、点Pのx座標を求めます。

1. 問題の内容

点Pが放物線 $C: y = x^2 + 2x - 1$ 上を動くとき、点Pと点A(3, 0)の中点Qの軌跡の方程式を求めます。さらに、点Pと点Aの中点Qも放物線C上にあるとき、点Pのx座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点Qの軌跡を求める。

点Pの座標を $(p, p^2 + 2p - 1)$ とおく。点Aの座標は $(3, 0)$ である。

点Qは点Pと点Aの中点なので、点Qの座標を $(x, y)$ とすると、

$x = \frac{p + 3}{2}$

$y = \frac{p^2 + 2p - 1 + 0}{2} = \frac{p^2 + 2p - 1}{2}$

$x = \frac{p + 3}{2}$ より、 $p = 2x - 3$

これを $y = \frac{p^2 + 2p - 1}{2}$ に代入すると、

$y = \frac{(2x - 3)^2 + 2(2x - 3) - 1}{2}$

$y = \frac{4x^2 - 12x + 9 + 4x - 6 - 1}{2}$

$y = \frac{4x^2 - 8x + 2}{2}$

$y = 2x^2 - 4x + 1$

したがって、点Qの軌跡の方程式は $y = 2x^2 - 4x + 1$ である。

(2) 点Qが放物線C上にあるときの点Pのx座標を求める。

点Qの座標は $(x, y) = (\frac{p+3}{2}, \frac{p^2+2p-1}{2})$ である。

点Qが放物線C上にあるので、$y = x^2 + 2x - 1$ を満たす。

つまり、$\frac{p^2+2p-1}{2} = (\frac{p+3}{2})^2 + 2(\frac{p+3}{2}) - 1$

$p^2 + 2p - 1 = \frac{(p+3)^2}{2} + 2(p+3) - 2$

$2p^2 + 4p - 2 = p^2 + 6p + 9 + 4p + 12 - 4$

$2p^2 + 4p - 2 = p^2 + 10p + 17$

$p^2 - 6p - 19 = 0$

$p = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(1)(-19)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 76}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{7}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{7}$

したがって、点Pのx座標は $3 \pm 2\sqrt{7}$ である。

3. 最終的な答え

点Qの軌跡の方程式は $y = 2x^2 - 4x + 1$ である。

点Pのx座標は $3 + 2\sqrt{7}, 3 - 2\sqrt{7}$ である。