右図のような格子状の道がある地域において、点Pから点Qまで、遠回りをせずに最短経路で行く道順について、以下の問いに答える問題です。 (1) 全ての道順の数 (2) 点Rを通る道順の数 (3) 点Rを通らない道順の数 (4) ×印の箇所を通らない道順の数

## 数学の問題

1. 問題の内容

右図のような格子状の道がある地域において、点Pから点Qまで、遠回りをせずに最短経路で行く道順について、以下の問いに答える問題です。

(1) 全ての道順の数

(2) 点Rを通る道順の数

(3) 点Rを通らない道順の数

(4) ×印の箇所を通らない道順の数

2. 解き方の手順

まず、全体として右に6回、下に4回移動する必要があることに注目します。

(1) PからQまでの全ての道順の数：

右に6回、下に4回移動するので、合計10回の移動のうち、どちらの方向に何回移動するかを考える問題になります。

これは、10回の移動から、右方向への移動6回を選ぶ組み合わせの数と考えることができます。

したがって、求める道順の数は、

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{}_{10}C_6 = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210

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(2) Rを通る道順の数：

PからRまでの道順の数と、RからQまでの道順の数をそれぞれ求め、それらを掛け合わせることで求めることができます。

PからRまでは、右に2回、下に2回移動する必要があるので、

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{}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6

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RからQまでは、右に4回、下に2回移動する必要があるので、

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{}_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15

$$$$

したがって、Rを通る道順の数は、

$6 \times 15 = 90$

(3) Rを通らない道順の数：

全ての道順の数からRを通る道順の数を引けば良いので、

$210 - 90 = 120$

(4) ×印の箇所を通らない道順の数：

PからQまでの道順のうち、×印の箇所を通るものを除けば良い。

Pから×印までは右に2回、下に3回移動する必要があるので、

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{}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10

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×印からQまでは、右に4回、下に1回移動する必要があるので、

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{}_5C_4 = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5}{1} = 5

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したがって、×印を通る道順の数は、

$10 \times 5 = 50$

よって、×印を通らない道順の数は、

$210 - 50 = 160$

3. 最終的な答え

(1) 全ての道順：210通り

(2) Rを通る道順：90通り

(3) Rを通らない道順：120通り

(4) ×印を通らない道順：160通り