問題は、2種類の記号（○と×）を重複を許して並べる方法の数を求める問題です。 (1) では、合計6個の記号を並べる場合の数を求めます。 (2) では、1個以上6個以下の記号を並べる場合の数を求めます。

1. 問題の内容

問題は、2種類の記号（○と×）を重複を許して並べる方法の数を求める問題です。

(1) では、合計6個の記号を並べる場合の数を求めます。

(2) では、1個以上6個以下の記号を並べる場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 合計6個の記号を並べる場合：

6個の記号を並べるということは、6つの場所があり、それぞれの場所に○か×のどちらかを置くことができます。

したがって、それぞれの場所について2通りの選択肢があるので、全体の並べ方は、$2^6$ 通りです。

(2) 1個以上6個以下の記号を並べる場合：

1個並べる場合、2個並べる場合、3個並べる場合、4個並べる場合、5個並べる場合、6個並べる場合をそれぞれ考え、それらの場合を足し合わせます。

1個並べる場合： $2^1$ 通り

2個並べる場合： $2^2$ 通り

3個並べる場合： $2^3$ 通り

4個並べる場合： $2^4$ 通り

5個並べる場合： $2^5$ 通り

6個並べる場合： $2^6$ 通り

したがって、合計の並べ方は $2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6$ 通りです。

これは初項2、公比2の等比数列の初項から第6項までの和なので、

$\frac{2(2^6 - 1)}{2 - 1} = 2(64 - 1) = 2 \times 63 = 126$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 6個の記号を並べる方法： $2^6 = 64$ 通り

(2) 1個以上6個以下の記号を並べる方法： $2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 = 126$ 通り