直線 $l: y = x - \sqrt{2}$ と円 $C: x^2 + y^2 = 1$ の共有点の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $l: y = x - \sqrt{2}$ と円 $C: x^2 + y^2 = 1$ の共有点の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の中心から直線までの距離を計算し、円の半径と比較することで共有点の個数を判断します。

円の中心は原点 $(0, 0)$ で、半径は $1$ です。

直線 $l: y = x - \sqrt{2}$ を一般形に変形すると $x - y - \sqrt{2} = 0$ となります。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、以下の式で計算できます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この式に、円の中心 $(0, 0)$ と直線 $x - y - \sqrt{2} = 0$ を代入して、円の中心から直線までの距離 $d$ を計算します。

$d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 - \sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$

円の半径は $1$ であり、円の中心から直線までの距離も $1$ であるため、直線は円に接していることがわかります。したがって、共有点の個数は1個です。

3. 最終的な答え

1