与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} a & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & b \end{bmatrix}$ の逆行列 $A^{-1} = \begin{bmatrix} A & B & C \\ D & E & F \\ G & H & I \end{bmatrix}$ を求める問題です。ただし、$ab = 1$ という条件が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} a & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & b \end{bmatrix}$ の逆行列 $A^{-1} = \begin{bmatrix} A & B & C \\ D & E & F \\ G & H & I \end{bmatrix}$ を求める問題です。ただし、$ab = 1$ という条件が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の逆行列を求めるための公式は、

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$

です。ここで、$\det(A)$ は行列 $A$ の行列式、$\text{adj}(A)$ は行列 $A$ の余因子行列の転置です。

1. 行列式 $\det(A)$ を計算します。

$\det(A) = a(1 \cdot b - 0 \cdot 0) - 0(0 \cdot b - 0 \cdot 2) + 1(0 \cdot 0 - 1 \cdot 2) = ab - 2$

$ab = 1$ より、$\det(A) = 1 - 2 = -1$ です。

2. 余因子行列を計算します。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & b \end{vmatrix} = b$

$C_{12} = - \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & b \end{vmatrix} = 0$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2$

$C_{21} = - \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & b \end{vmatrix} = 0$

$C_{22} = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 2 & b \end{vmatrix} = ab - 2 = 1 - 2 = -1$

$C_{23} = - \begin{vmatrix} a & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$

$C_{32} = - \begin{vmatrix} a & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$C_{33} = \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = a$

余因子行列は、

$\begin{bmatrix} b & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & a \end{bmatrix}$

となります。

3. 余因子行列の転置（随伴行列）を計算します。

$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} b & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & a \end{bmatrix}$

4. 逆行列を計算します。

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} b & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -b & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -a \end{bmatrix}$

ここで、$ab = 1$ なので、$b = \frac{1}{a}$ です。

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1/a & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -a \end{bmatrix}$

または

$A^{-1} = \begin{bmatrix} -b & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -a \end{bmatrix}$